В одной из прошлых статей мы перечислили некоторые факты из школьной математики, которые необходимо знать большинству школьников наизусть.
Например, любой ученик не задумываясь должен знать, что 15²=225, а (x+1)²=x²+2x+1.
Однако, по мере повышения уровня подготовки ученика растёт и количество требуемых для усвоения важных фактов.
В данном посте хотелось бы обсудить факты из тригонометрии, которые пригодятся старшеклассникам для работы на Перечневом и отчасти на Высокобалльном уровне.
Сперва поговорим о некоторых предварительных знаниях.
Будем предполагать, что к этому моменту ученики уже умеют стабильно решать любые тригонометрические уравнения уровня ЕГЭ. В том числе понимают разные тонкости вроде того, почему для выписывания уравнения уравнения sinx=a лучше писать две простых серии корней, а не одну с громоздкой формулой с (−1)ⁿ.
Дальше ученикам нужно знать все основные формулы, которые мало используются или не используются в ЕГЭ.
Например, синус суммы и косинус суммы.
Кстати, ученикам с плохой памятью можно на первых порах использовать такой подход к воспроизведению этих формул.
Для начала нужно твёрдо знать формулы двойного угла sin2α = 2sinαcosα и cos2α = cos²α − sin²α.
А потом обратным ходом мысленно восстанавливать формулы для суммы примерно так:
sin(α+α) = sin2α = 2sinαcosα = sinαcosα + sinαcosα
sin(α+β) = ............................... = sinαcosβ + sinβcosα
cos(α+α) = cos2α = cos²α − sin²α = cosαcosα − sinαsinα
cos(α+β) = ..................................... = cosαcosβ − sinαsinβ
Для разности нужно использовать идею sin(α−β)=sin(α+(−β))
Также нужно будет хорошо усвоить формулы для представления sinαsinβ, sinαcosβ, cosαcosβ в виде суммы (заучивать не нужно, они легко выводятся) и формулы для суммы синусов и разности и суммы косинусов (вот их желательно именно выучить).
Когда вы выучиваете какие−то формулы, если сомневаетесь в их правильности, вы всегда можете для проверки вместо α и β подставить углы 0, π/2, π или «красивые» углы π/6, π/4, π/3.
Теперь перечислим другие полезные факты и идеи продвинутой геометрии.
1. Сумма тангенсов и котангенсов.
Полезно знать, что когда в задачах стоят два тангенса или котангенса или тангенс или котангенс, их всегда можно красиво привести к общему знаменателю и получить в числителе одну из формул для синуса или косинуса суммы или разности.
Например,
tgα+tgβ = sinα/cosα + sinβ/cosβ = (sinαcosβ+sinβcosα)/cosαcosβ = sin(α+β)/cosαcosβЗапоминать их не нужно, все подобные формулы можно быстро вывести самому. Важен сам факт того, что тангенсы и котангенсы полезно ставить рядом и преобразовывать.
Например, решим уравнение 3tg3x − ctg2x = 4tgx.
4tg3x − tg3x − ctg2x − 4tgx = 0
4(tg3x − tgx) − (tg3x + ctg2x) = 0 //вот к этому выражению мы стремились, именно здесь раскрывается наша идея;
4(sin3x/cos3x − sinx/cosx) − (sin3x/cos3x + cos2x/sin2x) = 0
4(sin3xcosx − cos3xsinx)/cos3xcosx − (sin3xsin2x + cos3xcos2x)/cos3xsin2x = 0
4sin(3x−x)/cos3xcosx – cos(3x−2x)/cos3xsin2x = 0
4sin2x/cos3xcosx – cosx/cos3xsin2x = 0
Далее задача легко решается...
Можно иначе разбить слагаемые, но с той же идеей:
3tg3x − ctg2x = 4tgx.
3tg3x − ctg2x − 3tgx − tgx = 0
3(tg3x − tgx) − (ctg2x + tgx) = 0 и так далее...
2. В треугольнике сумма тангенсов равна произведению тангенсов.
Замечательный факт такой: Если α+β+γ= π, то tgα + tgβ + tgγ = tgαtgβtgγ.
Это утверждение не только само по себе красиво, но и может помочь при решении некоторых задач. Ведь соотношение α+β+γ= π означает, что это углы треугольника.
Например, задача «Тангенсы углов треугольника являются целыми числами, а наименьшая сторона равна 1. Найти длины других сторон треугольника.» решается именно через эту формулу.
Можно ещё в довесок и такую красивую формулу запомнить: если α+β+γ= π/2, то tgαtgβ + tgαtgγ + tgβtgγ = 1.
3. Замена sinx±cosx = t.
Нужно хорошо осознавать связь sinxcosx и sin2x с sinx−cosx или с sinx+cosx.
(sinx±cosx)² = sin²x ± 2sinxcosx + cos²x = 1 ± 2sinxcosx = 1 ± sin2xЭто позволяет в симметричных тригонометрических уравнениях и неравенствах делать замену.
Например, задача из ДВИ−2020:
sinx+cosx = 2√2sinxcosx
Замена sinx+cosx=t, 2cosxsinx = t²−1 превращает наше уравнение в простое квадратное t = √2(t²−1).
4. Двойственность cos²x и sin²x
В любом уравнении нужно быть готовым в любой момент выразить через синус чётную степень косинуса и наоборот.
Это нужно уметь делать и на Техническом уровне, но на уровнях выше нужно прямо мыслить в этих категориях.
То есть, допустим, в уравнении 3sinxcosx + 4sinx = 4 − 3cos²x+cosx нам показалось уместным разложить на множители.
Это значит, что мы должны пробовать раскладывать его как в виде
3sinxcosx + 4sinx − 4 + 3cos²x − cosx = 0,
так и в виде 3sinxcosx + 4sinx − 4 + 3(1−sin²x) − cosx = 0.
5. Сумма арктангенса и арккотангенса, cумма арксинуса и арккосинуса.
Для некоторых уравнений и неравенств с арксинусами и арккосинусами или с арктангенсами и арккотангенсами полезно знать формулы:
arcsinx + arcsinx = π/2
arctgx + arcctgx = π/2
Например, уравнение с олимпиады Ломоносов−2016:
arcctg²x = 3arctg²x − π²/36
Его нужно решать заменой arcctgx = π/2 − arctgx.
6. Арккосинус и арккотангенс для −α.
Легко запомнить формулы arcsin(−α) = −arcsinα и arctg(−α) = −arctgα.
Но аналогия для арккосинуса и арктангенса не срабатывает.
Более того, эти функции не будут даже чётными, как иногда предполагают ученики.
Нужно знать про эту особенность и хорошо запомнить, что arccos(−α) = π−arccosα и arcctg(−α) = π−arcctgα.
Также желательно уметь это пояснять.
7. Телескопические ряды, арктангенсы и тангенсы.
Для арктангенсов соседних чисел полезна формула:
arctg(1 / 1+k+k²) = arctg((k+1)−k / 1+k(k+1)) = arctg(k+1) − arctgk.
Для тангенсов:
sinα/(cos(k−1)α⋅cosα) = tgkα − tg(k−1)α
Нужно знать, что такие соотношения есть.
Также полезно знать их вывод, т.к. самому до таких конструкций догадаться очень сложно.
8. Удваивающийся аргумент косинуса.
В конструкциях, подобных произведению cosαcos2αcos4αcos8α..., удобнее всего домножить и разделить на синус наименьшего аргумента. Тем самым применяя несколько раз синус двойного угла, мы можем получить ёмкое соотношение.
cosαcos2αcos4αcos8α = sinαcosαcos2αcos4αcos8α/sinα = 1/2⋅sin2αcos2αcos4αcos8α/sinα = 1/4⋅sin4αcos4αcos8α/sinα = 1/8⋅sin8αcos8α/sinα = 1/16⋅sin16α/sinα
Например, на этом же принципе основано решение задачи с отборочного тура олимпиады ПВГ−2012: «Что меньше: sin1 или cos(1/2¹)⋅cos(1/2²)⋅...⋅cos(1/2²⁰¹²)?»
Или уравнение из Ткачука: cosxcos2xcos4xcos8x = 1/8 cos15x.
9. Выбор x, 2x или 4x.
В любой тригонометрической задаче, где из аргументов есть только x и выражения вида 2nx нужно задавать себе вопрос, с каким аргументом нам нужно работать.
Для его нужно знать формулы двойного угла и формулы понижения степени.
Однако, смотреть на них можно с такой стороны: где мы выигрываем, а где проигрываем?
Возьмём формулу двойного аргумента для 2x:
cos4x = 2cos²2x − 1
Слева у нас аргумент аж 4x. Однако, удобно, что косинус находится в первой степени.
Справа у нас аргумент в два раза меньше. Однако, мы проигрываем в степени – теперь появился квадрат.
Мы усложняем степень, но выигрываем в аргументе и наоборот.
Например, уравнение из ДВИ МГУ−2021: сos4x + cos2x + ctg²x=0
После того, как мы распишем котангенс и приравняем к нулю числитель, у нас получится:
sin²xcos4x + sin²xcos2x + cos²x = 0
Можно свести к аргументу x, тогда получится уравнение 6 степени. Правда, там можно сделать замену cos²x = t и свести его к кубическому.
Можно свести к аргументу 4x. Это неудобно, т.к. появятся неприятные квадратные корни.
Баланс будет, когда мы сведём к аргументу 2x, используя и формулы двойного угла и формулы понижения степени.
10. Тригонометрический оптимизм.
В сборнике Ткачука есть замечательная фраза-мем, которая изредка появляется в математических пабликах:
«Применять их [формулы сумм и произведений синусов и косинусов] надо тогда, когда тригонометрические функции берутся от аргумента большой кратности (т.е. от 5x, 8x и т.п.). При этом единственная надежда решающего состоит в том, что всё плохое сократиться рано или поздно».
Вот такая надежда, что всё плохое уйдёт, нужна для некоторого класса задач.
Допустим, есть у нас уравнение: 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x − 8cosxcos³4x = 0
Чтобы его решить нужно очень по-разному повращать его, поискать интересные закономерности, поразбивать на перспективные слагаемые.
Для этого нужно иметь опыт работы с громоздкими алгебраическими и потом тригонометрическими конструкциями.
А в данном уравнении первый шаг – заметить, что cos3x + cos5x = 2cosxcos4x, тем самым преобразуя второе и третье слагаемые.
11. Тригонометрические замены.
С учётом всех ограничений можно сделать следующие замены:
x = sinα, тогда √(1−x²) = cosα, 1−2x²=cos2α, −4x³+3x = sin3α;
x = cosα, тогда √(1−x²) = sinα, 2x²−1=cos2α, 4x³−3x =cos3α, √(1−x) = √2⋅sin(α/2), √(1+x) = √2⋅cos(α/2) ;
x = tgα, тогда √(1+x²) = 1/cosα, 2x/(1+x²) = sin2α, (1−x²)/(1+x²) = cos2α, 2x/(1−x²) = tg2α, x+1/x = 2/sin2α.
Все эти выражения относительно x желательно узнавать, чтобы в любой момент перейти в них к тригонометрии.
12. Введение вспомогательного аргумента.
Нужно не только уметь применять эту технику, но и узнавать ситуации, когда она особенно уместна.
Это и известные фрагменты пифагоровых троек:
3sinx + 4cosx = 5;
5sinx + 12cosx = 13 и др.,
но и популярные конструкции с теми же мотивами:
sinx + cosx = √2sin(x+π/4);
sinx + √3cosx = 2(1/2⋅sinx + √3/2⋅cosx) = 2(cosπ/3⋅sinx + sinπ/3⋅cosx) = 2sin(x+π/3).
13. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Идея в том, что через дробно-рациональные выражения относительно тангенса половинного угла можно выразить любую тригонометрическую функцию.
sinα = 2tg(α/2) / (1 + tg²(α/2))
cosα = (1 − tg²(α/2)) / (1 + tg²(α/2))
tg α = 2tg(α/2) / (1 − tg²(α/2))
ctg α = (1 − tg²(α/2)) / 2tg(α/2)
Например, уравнения вроде sinx + ctg(x/2) = 2 удобнее решать именно через подобную замену.
14. Равенство тригонометрических функций и аркфункций.
Необходимо уметь равносильно расписывать любые конструкции подобного типа:
sinx = siny, cosx = cosy, tgx=tgy, ctgx=ctgy;
arcsinx = arcsiny, arccosx = arccosy, arctgx=arctgy, arcctgx=arcctgy;
Соответственно, некоторые уравнения удобно упрощать именно до такого вида.
15. Понижение степени и полукрасивые углы π/8 и π/12.
Если в задачах встречаются конструкции вроде sin²(x+π/8) или cos²(x−7π/12), то лучше всего в них сразу понижать степень.
За счёт удвоения угла в аргументах вместо полукрасивых углов π/8 и π/12 появятся действительно красивые π/4 и π/6.
А, например, в таком примере:
sin⁴x + sin⁴(x+π/4) + sin⁴(x−π/4) = 9/8
понижение степени вообще приводит к удобным формулам приведения.
16. Суммы рядов синусов и косинусов.
Необходимо уметь самостоятельно выводить суммы типичных тригонометрических рядов:
sinx + sin2x + ... + sinnx
cosx + cos2x + ... + cosnx
cos(α+x) + cos(α+2x) + ... + cos(α+nx)
и сводящиеся к ним ряды вроде cos²x + cos²2x + ... + cos²nx (используем понижение степени).
Сюда же можно отнести и задания с доказательством тождеств, подобных такому:
cosπ/11 + cos3π/11 + cos5π/11 + cos7π/11 + cos9π/11 = 1/2
17. Ограниченность и минимаксные задачи
Одна из особенностей тригонометрических функций sinx и cosx, а также аркфункций состоит в том, что это ограниченные функции.
Отсюда возникает большой пласт задач, который использует оценку для решения.
Также нужно помнить про некоторые стандартные оценки вроде sinx+cosx ≤ √2, sinx+√3cosx ≤ 2, которые следуют из введения вспомогательного аргумента.
Например,
а) решите неравенство: sinx·sin1755x·sin2011x ≥ 1 (ПВГ−2011)
б) (5sin x + 12cos x)(100 + 48cosx − 13cos2x) = 1757 (МФТИ−2005) // Обратите внимание на 5 и 12 в первой скобке...
В принципе, в этот список можно внести ещё накладывание и выкалывание точек на единичной окружности, комплексные мотивы, внимательную работу с областью определения тангенса и котангенса, использование линий синуса/косинуса/тангенса/котангенса, исключение параметров, уравнения с параметрами, а также пласт задач на решение неравенств.
Однако, чтобы не раздувать статью, давайте пока ограничимся только таким перечнем.
Для тех, кто хочет глубже погрузиться в тему, прикрепляю перечень пособий по тригонометрии (или просто с соответствующими разделами), которые чаще всего использую в работе:
а) «Математика – абитуриенту» (В.В.Ткачук);
б) «Тригонометрия. Задачник к школьному курсу» (Мерзляк А.Г, Полонский В.Б., Рабинович Е.М, Якир М.С.);
в) «Тригонометрические уравнения и неравенства» (Бородуля И.Т.);
г) «Сборник задач по алгебре. 8−9 классы» (Галицкий М.Л.);
д) листочки И.В.Яковлева (mathus);
е) «Обратные тригонометрические функции. 10−11 класс» (Фалин Г.И., Фалин А.И.).
Что можно посмотреть дополнительно:
а) «Лекции по элементарной алгебре для физико-математических классов. №13, 14» (Арлазаров В.В. и др.);
б) «Тригонометрия: теория и практика решения задач» (Граськин С.С.);
в) «Задачник-практикум по тригонометрии» (Н.М.Бескин);
г) «Зелёная лошадь, или Лекции по тригонометрии» (Тинякин С.А.);
д) «Тригонометрия на вступительных экзаменах по математике в МГУ» (Фалин Г.И.);
е) «Тригонометрия» (Шахмейстер А.Х.);
ж) «Курс тригонометрии» (Андронов И.К., Окунев А.К.);
з) «Тригонометрия. Техника решения задач» (Лурье М.В);
и) «Тригонометрия» (Гельфанд И. М.).