Эти материалы размещены по многочисленным просьбам канала Теремочек, с ведома и одобрения канала Клио с поварешкой....
Читайте! Завидуйте тем, кто осилит этот трактат...
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Основы математического анализа» задуманы как учебник анализа для студентов первого и второго курсов математических отделений университетов; в соответствии с этим и книга делится на два
тома. При составлении ее был широко использован мой трехтомный
«Курс дифференциального и интегрального исчисления», но содержа¬
щийся в нем материал подвергся сокращению и переработке в целях
приближения книги к официальной программе по математическому
анализу и к фактическим возможностям лекционного курса.
Мои установки и задачи, которые я перед собой ставил, характеризуются следующим.
1. Главную свою задачу я видел в систематическом и, по
возможности, строгом изложении основ математического анализа.
Я считаю изложение материала в логической последовательности
обязательным для учебника, для того чтобы перед глазами учащихся
знания располагались в определенной системе.
Такое построение учебника, впрочем, не исключает возможности
для лектора в отдельных случаях, по соображениям педагогическим,
отступать от строгой систематичности (а, может быть, даже облегчает
ему эту возможность). Я сам, например, в лекционном курсе обычно
несколько отодвигаю такие трудные для начинающего вещи, как
теория вещественных чисел, принцип сходимости или свойства непре¬
рывных функций.
2. Вместе с тем курс математического анализа не должен представляться учащемуся лишь длинной цепью «определений» и «теорем»,
но должен служить руководством к действию. Студентов нужно
научить применять эти теоремы на практике, помочь им овладеть
вычислительным аппаратом анализа. Хотя эта задача в большей мере
падает на упражнения по анализу, но и изложение теоретического материала я сопровождаю примерами, по необходимости — в небольшом
числе, но подобранными так, чтобы подготовить учащихся к сознательной работе над упражнениями.
3. Известно, какие замечательные и разнообразные приложения
имеет математический анализ как в самой математике, так и в смежных областях знания; с этим студенты много раз будут сталкиваться
впоследствии. Но самая мысль о связи математического анализа
с другими математическими дисциплинами и с потребностями практики должна быть усвоена учащимися уже при изучении основ анализа. Вот почему везде, где это представляется возможным, я привожу примеры применения анализа не только в геометрии, но и в механике, физике и технике.
4. Вопрос о доведении аналитических выкладок до числа имеет
в равной мере принципиальное и прикладное значение. Так как
«точное» или «в конечном виде» решение задач анализа возможно
лишь в простейших случаях, то приобретает важность ознакомление
учащихся с использованием приближенных методов и с составлением
приближенных формул. Этому в книге также уделено внимание.
5. Хотелось бы сделать немногие пояснения относительно самого
изложения. Прежде всего коснусь понятия предела, которое занимает
центральное место среди основных понятий анализа и проходит
буквально через весь курс, появляясь притом в различных формах.
Последнее обстоятельство выдвигает задачу — установить единство
всех разновидностей предела. Это не только принципиально важно,
но и практически необходимо, дабы не строить всякий раз наново
теории пределов. Для достижения этой цели есть два пути: либо
сразу дать самое общее определение предела «направленной переменной» (например, следуя Шатуновскому и Муру — Смиту), либо
же сводить всякий предел к простейшему случаю — пределу переменной, пробегающей занумерованную последовательность значений.
Первая точка зрения недоступна начинающему, поэтому я остановился на второй: определение каждого нового вида предела дается,
прежде всего, с помощью предела последовательности и лишь затем —
«на языке е-8».
6. Отмечу еще одну деталь изложения: во втором томе, говоря
о криволинейных и поверхностных интегралах, я провожу различие
между криволинейными и поверхностными «интегралами первого типа»
(точные аналоги обыкновенного и двойного интегралов по неориентированным областям) и такими же «интегралами второго типа» (где
аналогия уже частично исчезает). На опыте я многократно убеждался
в том, что такое различение способствует лучшему усвоению и удобно
для приложений.
7. В виде небольшого дополнения к программе я включил в книгу
краткое ознакомление с эллиптическими интегралами (так часто
встречающимися на практике) и в нескольких случаях даю задачи,
приводящие именно к эллиптическим интегралам. Пусть этим будет
разрушена вредная иллюзия, воспитываемая решением одних лишь
простых задач, будто результаты аналитических выкладок непременно должны быть «элементарными»!
8. В разных местах книги читатель найдет замечания историко-математического характера. Кроме того, первый том завершается
«Историческим очерком возникновения основных идей математического анализа», а в конце второго тома помещен «Очерк дальнейшего развития математического анализа». Конечно, все это вовсе не
призвано подменить историю математического анализа, с которой
учащиеся ознакомятся впоследствии в общем курсе «истории математики». Если в первом из упомянутых очерков затрагивается самый
генезис понятий, то исторические замечания имеют целью создать
у читателей хотя бы общую ориентацию в хронологии
важнейших событий из истории анализа.
В тесной связи с только что сказанным, я обращаюсь теперь
с предупреждением непосредственно к читателю — учащемуся.
Дело в том, что порядок изложения в книге связан с современными требованиями к математической строгости, созревавшими
в течение длительного времени, и поэтому, естественно, отклоняется
от того пути, по которому исторически математический анализ развивался. Как говорит Маркс: «.. .историческое развитие всех наук
только через множество перекрещивающихся и окольных путей приводит к их действительной исходной точке. В отличие от других
архитекторов, наука... возводит отдельные жилые этажи здания,
прежде чем она заложила его фундамент» (К. Маркс и Ф. Энгельс, Сочинения (изд. 1935 г.), т. XII, ч. 1г стр. 44.).
С подобным положением вещей читатель столкнется при изучении анализа с самого же начала: первая глава книги посвящена «вещественным числам», третья — «теории пределов», и лишь с пятой главы начинается систематическое изложение дифференциального и интегрального исчисления. Исторически же порядок был как раз обратным: дифференциальное и интегральное исчисление зародилось в XVII веке и развивалось в XVIII веке, находя себе многочисленные
и важные приложения; теория пределов стала фундаментом для математического анализа в начале XIX века, а лишь во второй его половине была создана отчетливая концепция вещественного числа, обосновывающая наиболее тонкие положения самой теории пределов.
Эта книга подытоживает мой многолетний опыт преподавания
математического анализа в Ленинградском университете. Да будет
она полезна советской молодежи!
Г. М. Фихтенгольц Продолжение следует..........