1_Вписанная и описанная окружности. Теорема синусов. Внешний угол.
Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р. а) Докажите, что ∠РОА=∠РАО. б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, ∠ВАС=75⁰, ∠АВС=60⁰.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/Kk4KhVEoZauPcg
Видео https://dzen.ru/video/watch/65cb60d4c0b3cf7e85ecda53?share_to=link
2_Пять равных треугольников и описанные окружности
Точки А₁, В₁, С₁ – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁, пересекаются в одной точке. б) Известно, что АВ=АС=13 и ВС=10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/2skCUrtW4blS9A
Видео https://dzen.ru/video/watch/63e0ce03c11173201a10bc40?share_to=link
3_1 способ. Трапеция и вписанная окружность
Около окружности с центром О описана трапеция АВСD с основаниями AD и BC. а) Докажите, что ∠АОВ=∠СОD=90⁰. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ=СD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции АВСD.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/b1st_CXQpBU8fg
Видео https://dzen.ru/video/watch/6401fadba3566065cd29ca95?share_to=link
4_2 способ. Трапеция и вписанная окружность
Около окружности с центром О описана трапеция АВСD с основаниями AD и BC. а) Докажите, что треугольник АОВ прямоугольный. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ=СD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 16/81 площади трапеции АВСD.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/O-_KN3DCNRVuKA
Видео https://dzen.ru/video/watch/6403580654cd5e5bf695469a?share_to=link
5_Красивое дополнительное построение для трапеции
В трапеции АВСD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и СDМ прямые. а) Докажите, что ВМ=СМ. б) Найдите угол АВС, если угол ВСD равен 64⁰, а расстояние от точки M до прямой ВС равно стороне АD.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/6UGNGGrjbvQqSg
Видео https://dzen.ru/video/watch/64106122b65e284de892bba5?share_to=link
6_Подобные треугольники. Теорема о пропорциональных отрезках
Точка К лежит на отрезке АВ. Прямая, проходящая через точку В, касается окружности с диаметром АК в точке N и второй раз пересекает окружность с диаметром BK в точке М. Продолжение отрезка NK пересекает окружность с диаметром BK в точке P. а). Докажите, что прямые AN и BP параллельны. б). Найдите площадь треугольника АКР, если ВМ=1 и MN=4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/hGaOPRp20Db7dg
Видео https://dzen.ru/video/watch/641713529eb89c7eda89e2b9?share_to=link
7_Внутреннее касание двух окружностей. Общая касательная
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины А и В равнобедренного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружности соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и ВЕ параллельны. б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/D-KlPvOCPCWaSw
Видео https://dzen.ru/video/watch/642ea13cb36b821b32b46ef7?share_to=link
8_Четырёхугольник. Вписанная и описанная окружности
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О.
а) Докажите, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность.
а) Докажите, что в четырёхугольник АВСD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС=10, ВD=26.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/Nwe_Ga-Jc2QpHA
Видео https://dzen.ru/video/watch/6446d9529e978772463fdb01?share_to=link
9_Комбинация двух фигур: прямоугольник и равнобедренный треугольник
В равнобедренном треугольнике АВС с углом 120⁰ при вершине А проведена биссектриса BD. В треугольник АВС вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на стороне ВС, а вершина E – на стороне АВ. а) Докажите, что FH=2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если АВ=2.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/VpMBbFBl9AUUbA
Видео https://dzen.ru/video/watch/65464fdaf50b6355abe4e323?share_to=link
10_Описанная окружность. Свойство биссектрисы угла треугольника
В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, а угол ВDC равен 75⁰. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол АРВ равен 150⁰.
а) Докажите, что углы ВАР и РОВ равны. б) Прямая РО пересекает сторону СD в точке F. Найдите CF, если АР=6√3 и ВР=4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/C_gJT03Ar-5kKA
Видео https://dzen.ru/video/watch/6554dbae586f412658931441?share_to=link
11_Две окружности. Отношение отрезков. Повторяем углы
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую – в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке В, а вторую – в точке С. а) Докажите, что четырёхугольник АВСD – параллелограмм. б) Найдите отношение BP:PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/jed4-HpzvryLiA
Видео https://rutube.ru/video/6f94cb2c04d3161de193162ee881f4c9/?r=wd
12_Четыре окружности. Треугольник. Четырехугольник
Пусть О₁ – центр вписанной окружности треугольника АВС, О₂ – центр вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны ВС. а). Докажите, что О₁М=МО₂, где М – точка пересечения отрезка О₁О₂ и описанной окружности треугольника АВС. б). Найдите О₁О₂, если ВМ=5.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/aNbyHkcBpSmtRQ
Видео https://rutube.ru/video/d24b89fd8625e4e54802b73b3dc26378/?r=wd
13_Свойство биссектрисы угла. Теорема косинусов. Теорема синусов
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке D. Центр окружности, вписанной в треугольник ВСD, лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. а) Докажите, что ∠ВАС=60⁰. б) Найдите синус угла между прямыми АD и ВС, если АВ=3 и АС=8.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/EM9Fpin36iNkqw
Видео https://rutube.ru/video/93e793ad880d0acb6679b9403d20ff22/?r=wd
14_Три окружности. Площадь четырёхугольника.
Две окружности одинакового радиуса касаются внутренним образом третьей окружности в точках, являющихся концами дуги l большей окружности, равной 90⁰. а). Докажите, что окружности меньшего радиуса касаются друг друга, если радиус большей окружности равен 1+√2, а радиусы меньших окружностей равны 1. б). Найдите площадь треугольника О₁О₂К, где О₁ и О₂ – центры меньших окружностей, а К делит дугу lˡ, дополняющую дугу l до полной окружности, в отношении 1:5 от одной из точек касания.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/YfxgbdjqOPrTkg
Видео https://rutube.ru/video/cf0bc1295f142fd549bbe1f76b318502/?r=wd
15_Три окружности. Теорема косинусов
Две окружности одинакового радиуса касаются внутренним образом третьей окружности в точках, являющихся концами дуги большей окружности, равной 90°. а) Докажите, если радиус большей окружности равен 1+√2, а радиус меньших окружностей равен 5/4, то окружности меньшего радиуса пересекаются в двух точках. б). Найдите квадрат расстояния между точками пересечения окружностей меньшего радиуса, при выполнении условий указанных в пункте а).
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/Pcn0A4UtDi9npw
Видео https://rutube.ru/video/f2961a27b729b44078285f6cdb8d6ec5/?r=wd
16_Параллелограмм. Равнобедренная трапеция. Описанная окружность
Дан параллелограмм АВСD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN=CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята точка М так, что АМ=АD. а). Докажите, что ВМ=BN. б). Найдите MN если АC=7; sinBAD= 7/25.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/hbQtN_Ez-k7sYw
Видео https://rutube.ru/video/7c450a3bc4bcd6a4db04dce46d30f0b3/?r=wd
17_Внутреннее касание двух окружностей
Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей окружности в точке R. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках D и Е соответственно. а) Докажите, что DE параллельно ВС. б) L – точка пересечения RA и DE. Найдите AL, если радиус большей окружности 17, а ВС = 30.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/KRcK8xNuKAMa-Q
Видео https://rutube.ru/video/0fae51263dc85364fa070db3580b04b9/?r=wd
18_Свойство описанного четырёхугольника. Вписанный треугольник
На сторонах AB и CD четырёхугольника АВСD, около которого можно описать окружность, отмечены точки К и N соответственно. Около четырёхугольников АКND и BCNK можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника АВСD равен 0,25. а) Докажите, что четырёхугольник АВСD является равнобедренной трапецией. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника АВСD, равен 8, АК:КВ=2:5, а ВС ﹤ AD и ВС = 4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/sXnSvfnpzYdUIA
Видео https://rutube.ru/video/74cf6d6f2dbc0e140cf23e35cd68cc0a/?r=wd
19_Свойство описанного четырёхугольника.
В трапеции АВСD с меньшим основанием ВС точки E и F – середины сторон ВС и АD соответственно. В каждый из четырёхугольников АВЕF и ECDF можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция АВСD равнобедренная. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции АВСD, если АВ=7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник АВEF, равен 2,5. б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции АВСD, если ВС=16, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник АВEF, равен 7.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/Y8G_buyhmzqTMw
Видео https://rutube.ru/video/ecf24ed6824d89249eaf7c8789d91270/?r=wd
20_Трапеция. Где расположен центр окружности?
Задача 1. Четырёхугольник ABCD со сторонами ВС=75 и АВ=СD=20 вписан в окружность радиусом R=16. а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны. б) Найдите АD.
Задача 2. Четырёхугольник ABCD со сторонами ВС=14 и АВ=СD=40 вписан в окружность радиусом R=25. а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны. б) Найдите АD.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/gwaVQSDa-84rTA
Видео https://rutube.ru/video/21952f1a46c951b1d555b0374b4f32ae/?r=wd
21_Условие принадлежности четырёх точек одной окружности
Дан остроугольный треугольник АВС. Биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М, а биссектриса внутреннего угла при вершине С пересекает биссектрису внешнего угла при вершине В в точке N. а). Докажите, что равны углы CNM и MBC. б) Найдите СN, если АВ=АС=15, ВС=18.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/TVp1MXaQ8Hhu6Q
Видео https://rutube.ru/video/d01d298f15a84fc9f7301708f464b49a/?r=wd
22_Шоу подобных треугольников
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота CH, падающая на гипотенузу. Точки М и N лежат на катетах АС и ВС так, что угол MHN – прямой. а) Докажите, что треугольник MHN подобен треугольнику АВС. б) Найти СN, если известно, что АС=4, СМ=1, ВС=2√19.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/x4769DxvmmMFXA
Видео https://rutube.ru/video/2a81a12cd8be08c815e5a73fb77431eb/?r=wd
23_Несколько прямоугольных треугольников
На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно. а) Докажите, что LC – высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC=4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/LOw_xTIu3TDjtg
Видео https://rutube.ru/video/3eb5719d14016690afb93c37a539e6c3/?r=wd
24_Дуги и вписанные углы. Угол между пересекающимися хордами
Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём ВС=CD=DE, а АС и ВЕ перпендикулярны. Точка К – пересечения прямых ВЕ и AD. а). Докажите, что прямая СЕ делит отрезок KD пополам. б). Найдите площадь треугольника АВК, если AD=4, DC=√3.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/klv_y0Bz-2OT8A
Видео https://rutube.ru/video/43d350c372b324af713e48b5fbb0ef75/?r=wd
25_Треугольник. Прямоугольный треугольник. Окружность.
В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 60⁰, угол ABC = 45⁰. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р. а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 12.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/GTIQqMb4iWDsFA
Видео https://rutube.ru/video/103682e7ae88397b1b1b075cb5c91b18/?r=wd
© Презентации PowerPoint 2003. Е. М. Савченко, 2024