Этот волшебный круг поможет вам успешно сдать ЕГЭ. Но с эзотерикой и колдовством это никак не связано. Тем не менее, благодаря этому кругу у вас больше не будут возникать трудности при решении 13 задачи
Что такое тригонометрический круг?
Введём систему координат: ось абсцисс (ось X) назовём cos(x), а ось ординат (ось Y) назовём sin(x). Начертим окружность с центром (0;0) и радиусом 1.
Точка O c координатами (1;0) станет для нас точкой отсчёта, направление отсчёта - против часовой стрелки. Например, точке с координатами (0;1) будет соответствовать значение π/2, потому что эта точка находится на расстоянии четверти единичной окружности от начала отсчёта (длина единичной окружности 2π). Обойдя круг один раз, мы вернёмся в точку O, длина нашего пути будет равна длине 2π. В таком случае, точке O будет соответствовать значение 0 и 2π одновременно. Учитывая, что круг можно обходить несколько раз (и даже в обратном направлении), точке O будут соответствовать значения - 2πk, где k-целое число. Такие же рассуждения можно провести для всех точек окружности.
А теперь начинается самое интересное: Поставим на окружность точку A. И соединим ей с точкой Z (0;0). Опустим проекции Ax и Ay на горизонтальную и вертикальную ось соответственно. Пусть α - это угол AZO. Тогда cos(α) равен горизонтальной координате точки А, а sin(α) - вертикальной. Действительно, cos(α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе Поскольку A находится на окружности, а Z - её центр, то длина гипотенузы AZ = 1. А прилежащий катет равен горизонтальной координате точки A, чтд. (с синусом ситуация аналогична). То есть, если точка X находится на тригонометрическом круге и имеет координаты (a;b), то cos(x) = a, а sin(x) = b
Таким образом, тригонометрический круг позволяет визуализировать тригонометрические функции. В отличие от прямоугольного треугольника, в котором может быть угол от 0 до 90 градусов, тригонометрический круг позволяет работать с абсолютно любыми углами. Например, дано простейшее тригонометрическое уравнение:
С точки зрения тригонометрического круга это уравнение означает, что у точки x - абсцисса равна -√(3)/2. Этому значению соответствуют 2 точки на окружности, отметим их:
√(3)/2 - это табличное значение, которое соответствует углу 30 градусов или π/6. Очевидно, то наш круг симметричен относительно оси ординат (вертикальная ось). Поэтому расстояние от точки O до π/6 такое же, как от точки π до точки x. То есть x = π±π/6. В этот момент стоит вспомнить, что круг можно обходить несколько раз, поэтому к нашему ответу стоит добавить +2πk.
Примечание: Вместо одной переменной k были использованы 2 переменные k1 и k2. Всё потому что в этих двух уравнениях переменные k1 и k2 должны быть независимыми (k1 может быть не равно k2). На ЕГЭ вам могут снизить баллы, если вы эти 2 переменные замените на одну. (хотя происходит это редко)
Стоит отметить, что кроме синуса и косинуса у нас есть тангенс и котангенс. Эти тригонометрические функции тоже можно вычислять с помощью тригонометрического круга. Линия тангенсов параллельна линии синусов и проходит через точку (1;0), а линия котангенсов параллельна линии косинусов и проходит через точку (0;1). Чтобы вычислить тангенс/котангенс, нужно продлить линию, соединяющую центр окружности и точку на окружности, до линии тангенсов/котангенсов.
Но это материал со звёздочкой. Любую точку можно задать однозначно, зная её синус и косинус. Но без упоминания линии тангенса и линии котангенса рассказ о тригонометрическом круге был бы неполным.
Решение 13 задачи с помощью тригонометрического круга
Решим уравнение из 7 варианта сборника Лысенко (обзор всех сборников можно посмотреть в этой статье)
Преобразуем наше выражение:
Получаем 2 простейших:
Первое очевидно, главное не забыть, что таких точек две. А вот со вторым нам может помочь тригонометрический круг. (да, можно и через тангенс, но тема статьи другая). Нам нужно найти точки, у которых будут одинаковые координаты. Для этого достаточно пересечь тригонометрический круг прямой y=x, точки пересечения и станут нашим ответом.
Как видите, тригонометрический круг может стать хорошим способом не только для решения, но и для самопроверки. Частая ошибка при решении 13 задания - забыть про второй корень. В тригонометрическом круге забыть про второй корень почти невозможно, в нём все корни наглядно показаны.
Как отобрать корни?
У 13 задачи есть ещё и пункт б), в котором нужно указать все корни принадлежащие некоторому отрезку. В нашем случае дан отрезок [5π;13π/2].
Первым делом, стоит выделить этот промежуток на тригонометрическом круге. Для этого нужно обозначить концы отрезка. Мы знаем, что круг можно обходить несколько раз, поэтому значение в 5π нас пугать не должно. Длина единичной окружности 2π, поэтому 5π находится там же где 3π, там же где π, а где находится π нам известно. С помощью таких же соображений можно понять, что точка 13π/2 находится там же, где точка π/2. Поставим эти точки на нашу окружность и заштрихуем промежуток (от начальной точки против часовой стрелки)
Осталось отметить корни: они будут на тех же местах, что и в пункте a), но их значение будет с поправкой на наш промежуток. Грубо говоря, у нас в пункте a) получилось 4 точки на окружности, мы будем увеличивать значение в точке на 2π и выписывать те значения, которые находятся в данном отрезке. Точка 0 станет 6π, π станет 5π, π/4 станет 25π/4, 5π/4 станет 21π/4.
Примечание: В этом примере нам повезло: все точки, которые мы обозначили в пределе от 0 до 2π, в пункте а) оказались в пункте б). Но так происходит не всегда: возьмём точку 3π/4, сколько бы её не увеличивай на 2πk, она не будет удовлетворять данному отрезку, это легко заметить по её местонахождению в тригонометрическом кругу. В таком случае, мы бы не стали её вписывать в пункт б) ни в каком виде
Тригонометрический круг - это действительно мощный инструмент, который поможет решить любое 13 задание. Да, есть альтернативные методы решения таких задач, но тригонометрический круг - это самый наглядный из них. Кроме того пользоваться им не так сложно, как многие думают. Нужно всего лишь немного потренироваться, и 13 задание вы будете делать слажено, быстро и правильно.
Спасибо за прочтение статьи. Поддержите молодой канал лайком, а также не забудьте подписаться, если вы интересуетесь всем, что связано с ЕГЭ и поступлением в ВУЗ. А если у вас есть, что добавить или предложить - пишите ваши мысли в комментариях В будущем вас ждёт ещё больше контента)