Нередко из-за невнимательности, лени и «шаблонного мышления» ученики и даже студенты действуют привычным для себя образом там, где это совершенно неправильно. И в итоге теряют баллы на заданиях, а хуже того, расстраиваются, теряют веру в себя и теряют мотивацию серьезнее изучать предмет и понимать его глубже.
У математики, как известно, нет «царского», то есть легкого пути. И все строится на строгой логике.
Итак, давайте посмотрим на те действия, которые допустимы в преобразованиях уравнений, но недопустимы в преобразованиях дробей.
А. Что можно делать с уравнениями без оговорок:
- Прибавлять к левой и правой части одно и то же число
- Вычитать из левой и правой части одно и то же число
- Умножать левую и правую часть на одно и то же число (не ноль)
- Делить левую и правую часть на одно и то же число (не ноль)
Б. Что можно делать с уравнениями с оговорками (вернее, только при определенных условиях):
- Брать квадратный корень (если мы точно знаем, что с обеих сторон неотрицательные значения)
- Возводить в квадрат (также, если мы уверены в неотрицательности выражений слева и справа)
- Возводить в степени (тут будет играть роль четность или нечетность степени, а также знак выражений)
- Логарифмировать левую и правую часть (также есть нюансы)
А теперь важный момент. Даже то, что можно делать без оговорок с уравнениями, не всегда можно делать с дробями!
Помним, что нам важно, чтобы при преобразовании дробь не изменилась.
Поэтому для получения эквивалентной дроби можно только:
- Умножать числитель и знаменатель на одно и то же число (отличное от нуля)
- Делить числитель и знаменатель на одно и то же число (отличное от нуля)
Всё!
При применении других операций вы в общем случае получаете совсем другую, а не эквивалентную дробь. Понимаете? Да, иногда и другие операции «случайно» могут оставить дробь эквивалентной, но это не правило, а исключение.
Прибавлять к числителю и знаменателю что-то нельзя (или вычитать), ибо дробь изменится. При возведении в квадрат, взятии корня или возведении в иную степень дробь тоже изменится.
Так что важно быть аккуратными и не допускать ошибок.
Хорошо?
На этом пока всё. Успехов в вашей учебе!