Задание 20
Решите уравнение x^3 + 4x^2 = 9x + 36
Ответ: -4; 3; -3
Задание 21
Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Так как разница между временем движения 1-го автомобиля и 2-го автомобиля равна 2 ч, можно записать следующие выражение:
2-ой корень не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательна.
Ответ: 84
Задание 22
Постройте график функции y = ((0,25x^2 + x) · |x|) / (x + 4).
Определите, при каких значениях m прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Прежде чем решать, определяем область допустимых значений (ОДЗ).
График параболы, коэффициент a < 0, значит ветви параболы направлены вниз. Так как b = 0 и c = 0, то вершина параболы будет находится в центре координатной плоскости.
График параболы, коэффициент a > 0, значит ветви параболы направлены вверх. Так как b= 0 и c = 0, то вершина параболы будет находится в центре координатной плоскости.
Чертим координатную плоскость, на ней изображаем параболы и ОДЗ (выколотую точку):
Из рисунка видно, что прямая у = m не будет иметь с графиком ни одной общей точки, только тогда, когда m = - 4
Ответ: -4
Задание 23
Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 65° и 85°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 14.
Сумма всех углов любого треугольника равна 180°. Значит, чтобы найти угол ∠BAC необходимо:
По теореме синусов из справочного материала ОГЭ:
Найдём сторону BC:
Ответ: 14
Задание 24
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
Рассмотрим: ∆ABD и ∆ACD. Докажем, что их площади равны. У них общее основание AD. В каждом из них проведём высоты ВН и CN они будут равны как высоты одной трапеции.
Задание 25
В треугольнике ABC биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.
ВК в ∆ABD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ∆ABD равнобедренный, в нём боковые стороны равны АВ = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
Рассмотрим ∆ВЕС в нём DM средняя линия (т.к. BE||DM, D середина ВС), значит EM=MC.
Рассмотрим ∆ADM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM|КЕ, К середина AD), значит AE = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
Найдём среднюю линию DM и KE:
Находим BK:
Из прямоугольного ∆АВК по теореме Пифагора найдём АВ:
Сторона BC в два раза больше сторона AB:
Из прямоугольного ∆АKE по теореме Пифагора найдём АE:
Сторона АС в три раза больше стороны АЕ: