Взгляните, эти несколько задачек помогут вспомнить задачи, которые Вы решали в школе, но это было давно и Вы, возможно, забыли про них.
Когда мне попадается новая задачка, мне сразу хочется ее решить. Не всегда получается, но можно посмотреть решение, что тоже полезно.
Вот эти несколько задач, сначала все условия, ниже решения. Давайте уже решать.
1. Какая дробь больше: (10^2005 + 1)/(10^2006 + 1) или (10^2004 + 1)/(10^2005 + 1) ?
2. Докажите, что выражение n^3 + 11n делится на 6 при любом натуральном n.
3. Докажите, что разность 999993^2005 - 777777^2003 делится 5.
4. На дискотеке было 20 танцующих, девушки и юноши. Маша танцевала с семью юношами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью, и так далее, до Ксении, которая танцевала со всеми кавалерами. Сколько юношей (танцоров) было на дискотеке?
5. 12 учеников одного класса любят читать детективы, 18 увлекаются фантастикой, 3 с большим удовольствием читают и детективы, и фантастику. И только один ученик не читает ничего. Сколько учеников в этом классе?
Кто хочет порешать сам, пока не читайте дальше. Остальных приглашаю посмотреть решения.
1. Обозначим а=10^2004, помним, что 10^2005=(10^1)*(10^2004), тогда составим разность двух дробей, получим (10х+1)/(100x+1)-(x+1)/(10x+1)= ((10x+1)^2-100x^2-100x-x-1)/(100x+1)*(10x+1)= -81x/(100x+1)*(10x+1) < 0, то есть вторая дробь больше первой.
2. Проведем преобразование выражения n^3+11n=n^3+5n+6n=n(n^2+5)+6n=n((n^2-1)+6)+6n=n(n-1)*(n+1)+6n+6n=(n-1)n(n+1)+12n. Первое слагаемое это произведение трех последовательных натуральных числа, оно обязательно будет делиться на 2 и на 3, то есть на 6, но и 12n тоже делится на 6, значит первоначальное выражение делится на 6.
3. Определим, какой цифрой заканчивается число 999993^2005. Это не трудно. Возводим 3 последовательно в степень: 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=...1, 3^5=...3, то есть через 4 возведения будет повтор. Тогда 2005=4*500+5. На 5 месте стоит 3, это значит, что наше число закончится цифрой 3. А какой цифрой закончится число 777777^2003 ? Тоже цифрой 3, проверьте, пожалуйста, сами. Разность этих чисел - число, на последнем месте у которого будет 0. Так что эта разность будет делиться не только на 5, но и на 2 и даже на 10.
4. Пусть число танцующих девушек будет х. Первая, Маша танцевала с (6+1) юношами, вторая, Оля с 6+2, третья, Вера с 6+3, а вот "иксовая" по порядку, Ксения с 6+х. Составим уравнение х+(6+х)=20, х=7, это девушек было, тогда 20-7=13, это юношей. Такое простое решение, а условие-то не очень простое.
5. 12 учеников читают детективы, молодцы. Определим, а кто читает только фантастику. 18-3=15, отлично. Один не любит читать. Тогда всего учеников 12+15+1=28.
20 лет назад подобные задачи предлагались детям во время проведения Недели Математики в школе. Целую неделю вся школа, в которой я работала погружалась в математику: конкурсы, викторины, олимпиада, шахматный турнир и многое другое. Вспоминаю это время с теплотой в душе.
Спасибо, что Вы прочитали, слегка развлеклись старыми задачами.
Да, и не забудьте, пожалуйста, про задачку на картинке. Успехов Вам и здоровья.
