Задание 15.
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
1) В равностороннем треугольнике равны все стороны, а также все углы равны 60º. Также в равностороннем треугольнике биссектриса будет являться медианой и высотой.
∠A = ∠B = ∠C;
AD = CD;
BD ⊥ AD.
2. Так как BD– медиана равностороннего треугольника, то
3. Рассмотрим треугольник ABD:
AD = 7√3;
BD = 14√3
∠D = 90°.
Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем высоту равностороннего треугольника:
Ответ: 21
Задание 16.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=11, ВС=13, CD=12. Найдите AD.
Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Значит:
AB + CD = BC + AD
Подставляем, в данное выражения, значения, которые нам известны:
11 + 12 = 13 + AD
11 + 12 = 13 + AD
AD = 11 + 12 – 13
AD = 10
Ответ: 10
Задание 17.
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 94°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Для начала, нужно разобраться сумма каких углов равняется 94°.
Сумма углов 2 и 3 не может равняться 94°, так как эта два тупых угла, их сумма будет всегда больше 180°.
Сумма углов 1 и 2 или 3 и 4 также не может быть равна 94°. Так как эти пары углов – это пары углов четырёхугольника прилежащих к одной стороне, а сумма таких углов равна 180°.
Следовательно, делаем вывод, что сумма углов 1 и 4 равна 94°. Так как трапеция равнобедренная, значит эти два угла равны (углы при основании). Поэтому можем найти их градусную меру:
Ну и так как, ∠1 и ∠2, это углы в четырёхугольнике прилежащие к одной стороне, их сумма будет равна 180°. Значит, чтобы найти ∠2, необходимо:
∠2 = 180° - ∠1 = 180° – 47° = 133°.
Ответ: 133
Задание 18.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Площадь параллелограмма можно найти как произведение его высоты на длину стороны, к которой проведена высота (см. рисунок ниже, здесь красная линия – это высота, а синяя – соответствующая сторона).
Из рисунка видно, что высота h=4, а длина стороны a=5. Следовательно, площадь равна:
S = a ∙ h = 4 ∙ 5 = 20
Ответ: 20.
Задание 19.
Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали ромба равны.
2) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
1) Не верно, ниже пример, когда диагонали ромба не равны:
2) Верно, это первый признак подобия треугольников по двум углам;
3) Не верно, ниже пример, где тангенс острого угла треугольника равен 2, а это больше 1: