Первые расчеты, отдаленно напоминающие современное понимание числа Эйлера, появились еще во времена Древнего мира, когда люди начали одалживать друг другу деньги под проценты.
В математическую модель число e начало оформляться в конце XVII века, когда швейцарский математик Якоб Бернулли занялся исследованием экономической задачи: какова максимальная величина процентного дохода при постоянной капитализации вклада?
Основательно в математическую практику эту константу ввел в XVIII веке математик и механик, швейцарец по происхождению, профессор Петербургской академии наук Леонард Эйлер.
Для запоминания первых десяти цифр числа Эйлера есть мнемоническое правило:
Вернемся к экономической задаче Бернулли. Суть ее в следующем: если положить некоторую сумму денег в банк под 100% годовых, то какова будет максимальная прибыль через год, при условии, что капитализация процентов произойдет не один раз в конце года, а будет выполняться максимально часто в течение года.
Для простоты понимания предположим, что мы кладем в банк 10$ под 100% годовых.
Через год получим свои 10$ и еще 10$ процентами, т.е. наш вклад будет умножен на коэффициент (1+1):
Если капитализацию вклада произвести в два этапа: 50% начислить через пол года, и еще 50% в конце года, то через пол года наш вклад будет умножен на коэффициент (1+1/2), а в конце года еще на такой же коэффициент (1+1/2):
Если же капитализацию вклада произвести в 4 этапа: 25% начислить через 3 месяца, потом 25% - через пол года, затем 25% - через 9 месяцев, и еще 25% в конце года, то через 3 месяца наш вклад будет умножен на коэффициент (1+1/4), через пол года - на коэффициент (1+1/4)^2, через 9 месяцев - на (1+1/4)^3, а в конце года - на коэффициент (1+1/4)^4:
Аналогично рассуждая, при ежемесячной капитализации, в конце года вклад будет умножен на коэффициент (1+1/12)^12:
Теперь посмотрим на получившиеся значения коэффициентов: 2, 2,25, 2,44, 2,61. Видим, что коэффициент медленно увеличивается. Возникает вопрос: а что если капитализацию вклада производить еще чаще: каждый день, каждый час, каждую секунду? Каким будет максимальный коэффициент к концу года?
Выпишем все полученные коэффициенты:
Можно заметить, что при бесконечном уменьшении временных промежутков между капитализацией процентов по вкладу, коэффициент в общем виде можно записать так:
Якоб Бернулли в свое время определил, что это число между 2,7 и 3.
Несколько десятилетий спустя Леонард Эйлер в своих математических исследованиях стал обозначать этот предел буквой е, доказал, что его значение является бесконечной непериодической дробью и вычислил его с точностью до 23 знаков после запятой.
В настоящее время значение числа Эйлера известно с точностью до 2 млн. знаков после запятой.
И еще один интересный факт: число е можно представить в виде такого числового ряда:
Это не сложно проверить непосредственным вычислением, помня что n!=1*2*3*... и 0!=1.
А теперь еще разок вернемся к задаче Бернулли. «Не бывает таких процентов по вкладу!», - скажете вы. Почему же тогда это число так заинтересовало математиков? Дело в том, что наибольший интерес ученых в различных областях естественных наук связан не столько с самим числом Эйлера, сколько с показательной функцией с основанием е.
Экспонента
Возможно, вы слышали выражения «экспоненциальный рост», «убывает по экспоненте». Давайте попробуем разобраться что это значит.
Экспонентой называют показательную функцию с основанием е:
Построим график этой функции:
Обратите внимание как быстро возрастает экспоненциальная функция. Именно эта особенность быстрого роста и подразумевается, когда говорят об экспоненциальности какого-либо процесса.
Рассмотрим еще несколько примечательных характеристик этой функции.
Такая функция называется натуральным логарифмом и имеет собственное обозначение:
Экспоненту можно представить в виде числового ряда (ряда Тейлора):
С производной натурального логарифма ситуация не менее интересная.
При дифференцировании произвольного логарифма так же присутствует натуральный логарифм:
Интегрирование же логарифмической функции производится несколько сложнее с помощью специальных методов, изучаемых рамках курса математического анализа. В школьном курсе алгебры и начал анализа нам доступны лишь формулы выражающие процесс обратный дифференцированию показательной и логарифмической функций:
И все же, что на счет процентов по вкладу в экономической задаче Бернулли?
Финансы
Изучая банковские предложения можно увидеть: «Вклад по ставке 10% годовых на 6 месяцев, с ежемесячной капитализацией» или «Вклад по ставке 6,7% годовых на 3 года, с ежеквартальной капитализацией». Это означает что банк будет применять к вкладу формулу наращения сложных процентов.
Т.о. наращение прибыли будет изменяться по экспоненте в зависимости от процентной ставки и срока инвестирования.
Непрерывное наращение крайне редко применяется в практических финансово-кредитных операциях, но имеет существенное значение в анализе сложных закономерностей процесса наращения, в финансовом проектировании, при обосновании и выборе инвестиционных решений.
Биология
В условиях неограниченных ресурсов популяции живых организмов развиваются в соответствии с экспоненциальным законом:
В качестве примера можно вспомнить историю с кроликами Австралии. В 1859 году австралийский фермер Томас Остин выпустил на свободу 24 серых кролика. Всего через 40 лет они расплодились настолько, что под угрозу встал не только животный мир материка, но и его почвы. Численность кроличьей популяции в 75 раз превышала численность людского населения. Не смотря на все попытки истребления зверьков, 1930 году власти были вынуждены применить против них биологическое оружие - вирус миксоматоза.
Экспоненциальный рост так же характерен для размножения вирусов и бактерий как среди людей, животных и растений, так и в теле отдельного организма.
За примером далеко ходить не надо, достаточно вспомнить весну 2020 года. Вирус COVID-19 - спонтанный мутант, известного с 2002 года CARS-Cov. Штамм CARS-Cov-2 в 2020 году за несколько месяцев охватил всю планету.
Физика
Одно из уравнений ядерной физики, называемое законом радиоактивного распада, описывает убывание со временем среднего числа радиоактивных ядер:
Разумеется, применение числа Эйлера, экспоненты и натурального логарифма намного шире представленных здесь примеров, ведь Математика - царица и служанка естественных наук.