0!=1, так ли это?
N! = 1х2х3х4х5…..х N.
Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.
Это определение из учебника, и оно пока звучит сложно. Зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже — для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:
1! ; 3! ; 6!
Чтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала — так гласит определение. Получаем выражения:
1!=1х1=1
3!=1х2х3=6
6!= 1х2х3х4х5х6=720
Ещё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным — то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:
-15!; 9,3!; 7/3!
Факториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел — комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.
В статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом.
Какие свойства и формулы есть у факториалов
Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много — каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств: факториал — это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:
· Факториал нуля равен единице — 0! = 1 (?)
· Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.
· Рекурсия: n! = (n – 1)! × n.
Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.
Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой — и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел.
Но почему факториал нуля равен единице? Что-то подсказывает, что это не так: 1. Наименьшим натуральным числом принято считать единицу. Именно с нее начинается счет предметов. Ноль означает некое отсутствие чего-либо, счет предметов с него не начинается. Соответственно, к натуральным числам он не относится, значит0!=1 –грубейшая ошибка. Вывод: 0! не равно 1.
2. Если считать 0 натуральным числом, то запись формулы
N! = 1х2х3х4х5…..х N нужно считать не верной, т.к. должна иметь такую запись: N! = 0х1х2х3х4х5…..х N, т.е. N! = 0 или 0!=0.
Теряется весь смысл. Перемножать все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала, будет равно 0.
Рекуррентная формула основаная на главном свойстве факториалов — рекурсии: n! = (n – 1)! × n вообще не выдерживает критики в пользу 0!=1, т.к. появляются условия: n=1 или n - больше 1.
Д.О.Юрьевич 11.02.2024г.