Это классическая задача из «Занимательной физики» Якова Перельмана — в ней как раз рассматривалось движение через шахту, пронизывающую всю Землю. Если она строго вертикальна и внутри нее воздух, то пролететь насквозь не получится.
Почему? Потому что воздух помешает. Вблизи поверхности устоявшаяся скорость падения составляет около 50 м/с, разогнаться быстрее в падении мешает сопротивление атмосферы. В нашей шахте плотность воздуха будет расти с глубиной, так что скорость падения станет ещё меньше. На глубине около 16 километров падающие в шахту столкнутся с эффектом азотного наркоза, а примерно на отметке в 20 км начнут испытывать симптомы кислородного отравления. При средней скорости падения в 30 м/с или примерно полминуты на километр это означает, что где-то через 10-12 минут полёта, ещё до пересечения границы с мантией Земли (она начинается на глубине километров этак в сорок, но варьируется от места к месту), незадачливые путешественники потеряют сознание. И где-то через минут 20, пожалуй, умрут.
Если же взять скафандр, то можно забраться глубже. Современные водолазные скафандры держат давление до примерно 70 атмосфер, то есть до глубины (в воде!) около 700 метров. В нашей шахте такое давление будет примерно на глубине 35-40 километров (давление растёт экспоненциально. Грубая формула выглядит так: 8*lnP, где P — давление в атмосферах, а результат — в километрах), так что в скафандре получится долететь почти до мантии. Но это оценка очень грубая, поскольку уже при 34 атмосферах азот становится сверхкритическим, фактически он перестаёт быть газом или жидкостью — и приведённая выше формула оказывается ненадежной. Сверхкритический азот (мы воздух будем для простоты считать далее азотом) ведет себя отличным от газа образом.
Дальше биология заканчивается и начинается чистая физика. Останки отважного путешественника в скафандре будут медленно и печально, со всё замедляющейся скоростью, падать вниз. При давлении около 3 гигапаскалей, то есть 30 тысяч атмосфер, азот становится твердым, причем предварительно его плотность возрастёт. И сильно возрастет. При низких температурах и давлении в 1 ГПа азот имеет плотность больше, чем вода в нормальных условиях — сверхкритическое вещество остается, в отличие от жидкости, сжимаемым.
Где-то на отметке в сотни — точнее тут сказать без сложных расчётов не выйдет! — километров останки путешественника либо прекращают тонуть и зависают на одном уровне в очень плотном сверхкритическом азоте, либо ложатся на дно из твердого азота. Всё, путешествие закончилось еще в верхней мантии Земли.
Но если вы каким-то образом выкачали оттуда воздух, то пролететь всё равно не получится. Падающий предмет будет лететь не строго по прямой, так как вы его запустили с края вращающегося шара. Прыгнув в шахту, вы сохраняете свою горизонтальную скорость, в то время как стенки шахты по мере приближения к центру планеты будут двигаться медленнее (посмотрите видео ниже — оно интуитивно понятно без всяких там формул и вращающихся систем отсчета с фиктивными силами). В итоге вы сначала наберете приличную скорость, а потом с этой скоростью по касательной впечатаетесь в стенку. Даже успев предварительно пролететь хотя бы 100 км, вы наберете почти полтора километра в секунду — и ваш скафандр при моделировании касания стены можно в таких условиях считать жидким, его прочности в любом случае не хватит для безопасного гашения скорости.
В любом варианте вы опять-таки погибаете ещё в мантии Земли, вопрос только в том, по какой именно причине это произойдет. И извлечь останки не получится, поскольку опять-таки в любом из сценариев они застревают в шахте: либо скользя по стенкам к центру, либо утопая в сверхкритическом азоте.