Рассмотрим следующую последовательность
где Hn – гармоническое число с номером n. Докажем, что у неё существует предел. Для этого воспользуемся теоремой Больцано–Коши–Вейерштрасса: докажем монотонное убывание и ограниченность снизу.
1. Монотонность. Рассмотрим разность соседних членов последовательности
А теперь воспользуемся неравенством
Откуда получим монотонное убывание нашей последовательности.
2. Ограниченность.
Ограничим снизу возрастающей последовательностью и докажем, что возрастающая последовательность всегда меньше убывающей.
Рассмотрим следующую последовательность
Аналогично первому пункту можно проверить её монотонное возрастание. Эта последовательность всегда меньше изначальной, так как
Получаем, что последовательность удовлетворяет условиям теоремы Больцано–Коши–Вейерштрасса, а значит у неё есть предел. Его обозначают буквой ϒ. Это число приблизительно равно 0,577215664901532860606512090082… (здесь 30 символов после запятой).
Неизвестно, является ли эта константа иррациональной, не говоря уже о трансцендентности. Утверждается, что известный английский математик Г. Х. Харди предложил уступить свою савилианскую кафедру в Оксфорде любому, кто докажет иррациональность ϒ, хотя, по-видимому, не известно никаких письменных ссылок на эту цитату. Гильберт упомянул иррациональность ϒ как нерешенную проблему, которая кажется "неприступной" и перед которой математики беспомощны. Если ϒ является простой дробью, то её знаменатель больше 10^10000. Оценка впоследствии была улучшена Т. Папаниколау до 10^242080.
Для вычисления значения постоянной Эйлера-Маскерони неудобно применять само определение. Для этого существуют различные интегральные представления ϒ. Например,
Вычисление интеграла 1 можно посмотреть по данной ссылке.
Сейчас займёмся вычислением последнего интеграла. Для этого нам понадобятся формулы, полученные в этой статье.
Рассмотрим определение ϒ. Применим к выражению после знака предела теорему 1. За f(x) возьмём 1/x. Проведём вычисления.
Все слагаемые с 1/n исчезнут, так как мы рассматриваем предел при n стремящемся к бесконечности. Проведя предельный переход, получим выражение 3.
Также ϒ можно представить в виде числового ряда
Обосную. Представим определение ϒ следующим образом
где второй ряд телескопический, и все слагаемые в нём, кроме последнего, исчезнут. Сгруппируем и получим наш числовой ряд.
Источники: А.А. Карацуба «Основы аналитической теории чисел», Википедия