На картинке Петр Колчин, старший лейтенант, командир роты (артист Е. Самойлов) доказывает частный случай неравенства Коши. Успешно доказывает. Галина Сергеевна Мурашова, математик, доцент МГУ ( артистка В. Серова) даже удивилась, не ожидала.
Давайте и мы докажем, но не одно, а целых три.
Замечательные неравенства можно записать в таком виде:
√((a^2+b^2)/2)>=(a+b)/2>=√(ab)>=2/(1:a+1:b)=(2ab)/(a+b), где a и b >0.
Слева направо: среднее квадратичное, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое.
Рассмотрим самый легкий вариант средних величин, когда величин всего две. 1. Докажем, что среднее квадратичное больше или равно среднему арифметическому, то есть √((a^2+b^2)/2) >=(a+b)/2.
Так как обе части неравенства положительны, возведем обе части в квадрат. Затем составим разность левого и правого выражений и сравним разность с нулем. Если разность положительна, то левое больше правого. Итак.
(a^2+b^2)/2-((a+b)^2)/4=(2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2)/4=(a^2-2ab+b^2)/4=((a-b)^2)/4>=0. Верно, так как выражение в квадрате всегда больше или равно нулю.
2. Докажем, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, то есть (a+b)/2>=√(ab). Именно это и доказывает старший лейтенант в фильме. Составим разность и сравним с нулем.
(a+b)/2-√(ab)=(a+b-2√(ab))/2=((√a)^2-2√(ab)+(√b)^2)/2=((√a-√b)^2)/2>=0. Верно.
3. Докажем, что среднее геометрическое больше или равно среднему гармоническому, то есть √(ab)>=(2ab)/(a+b).
Так как a>0 и b>0, то обе части неравенства умножим на (a+b) и разделим на ab, получим ((a+b)*√(ab))/ab>=2, помним, что ab=√(ab) * √(ab), тогда (a+b)/ √(ab)>=2, то есть (a+b)>=2√(ab) или (a+b)/2>=√(ab). А ведь это мы только что доказали в пункте 2. Так что, верно.
Это неравенство можно доказать и другим способом, возведя обе части в квадрат и составив разность.
Спасибо, что Вы дочитали, спасибо, что интересуетесь математикой. Желаю Вам здоровья и благополучия.