После задач на слои и узлы наконец-то переходим к работе с объёмом, а именно к развёрткам. Основная идея этой подборки — нужен важный повод, чтобы внимательно рассмотреть развёртку, а не просто вырезать её и сложить куб.
В общем виде решение задач выглядит так: ученик вырезает развёртку, сгибает по всем линиям и получается (или не получается) куб. После этого ученик выполняет задание листочка. Если я вижу ребёнка, у которого начинает хорошо получаться, то предлагаю более сложную версию: сначала раскрасить/нарисовать, а потом уже вырезать и сложить, чтобы проверить себя.
Ниже предлагается 5 листочков на развёртки куба, 2 листочка на развёртки пирамид и подборка с задачами разных олимпиад. Начинающим математикам из начальной можно выдавать первый листочек без учёта возраста. Так как на занятии используются навыки, напрямую не развивающиеся в школе, то разброс скорости внутри одной группы может быть очень разным. Представленных ниже заданий спокойно может хватить на 2-3 занятия, без учёта олимпиадной подборки.
Важное примечание: На этом занятии ластиком пользоваться не стоит, так как развёрки будут рваться. В случае неудачи, развёртку можно перевернуть и выполнить задание на обратной стороне.
Вступление
Перед тем, как перейти к развёрткам будет здорово рассмотреть куб. Я обычно это делаю так:
Грани это поверхности куба. Представьте перед собой куб. Положите правую руку на верхнюю грань. Положите левую руку на нижнюю грань. Теперь поверните куб так, чтобы верхняя грань окажется справа. Где тогда окажется нижняя грань? Верно, слева. Теперь поверните куб так, чтобы левая грань окажется сзади. Где тогда окажется правая грань? Верно, спереди.
Сколько граней у куба? Верно, 6!
У квадрата есть 4 угла, но у куба есть разны углы. Например, есть двугранный угол. Это угол, где встречаются две грани. Покажите на двугранный угол нашего класса. Такие двугранные углы называются рёбрами. Сколько рёбер у куба? Верно! 12.
Есть ещё трёхгранные углы. Найдите и покажите в сторону трёхгранного угла нашего класса. Такие трёхгранные углы называются вершинами. Сколько вершин у куба? Верно! 8.
Для иллюстрации заданий ниже я буду использовать следующую проекцию куба, сохраняющую топологию куба пусть и ценой законом перспективы.
Переходим к развёрткам
Будет ценно, если ученики сами попробуют разобраться с заданием каждого листочка *картинка с троянским конём, на которой преподаватель продаёт детям чтение под видом интересных задач*. Можно попросить подчеркнуть слово, говорящее, что именно надо сделать, а другим цветом подчеркнуть сколько нужно использовать цветов.
Важно, чтобы ребёнок один раз сам попробовал раскрасить, и мы уже на его развёртке показываем, что пошло не так. Так мы закрепляем последовательность: самостоятельная попытка (вкладывание сил) - результат.
Из некоторых развёрток нельзя сложить куб. В этом случае ученик показывает на развёртке с какими гранями возникают проблемы и пишет "НЕЛЬЗЯ".
При переходе к каждому следующему листочку, ученик сначала отвечает на вопрос: Чем это задание отличается от предыдущего?
Развёртки куба #1 (1-2 класс)
Раскрашиваем грани в два цвета так, чтобы любые грани одного цвета имели общее ребро.
Развёртки куба #2 (1-3 класс)
Во втором задании красим в 3 цвета так, чтобы грани одного цвета не имели общих рёбер.
Развёртки куба #3 (1+ класс)
Теперь расставляем числа от 1 до 6 так, чтобы числа на противоположных гранях давали в сумме 7.
Внимательный читатель заметит, что это задание — в некотором смысле сумма двух предыдущих: и если с противоположным заданием параллели очевидны, то чтобы получить первое задание, надо раскрасить грани с чётными числами в один цвет, а грани с нечётным — в другой.
Развёртки куба #4 (3+ класс)
В этом задании от раскраски граней ребята переходят к прокладыванию маршрутов. Нужно нарисовать замкнутый маршрут без самопересечений, проходящий через каждую грань ровно 1 раз.
Развёртки куба #5 (4+ класс)
Ставки повышаются и в этот раз маршрут должен проходить через каждое ребро ровно один раз.
Развёртки треугольной пирамиды (3+ класс)
Расставляем числа 1 и 2 в углы треугольников (то есть граней) так, чтобы суммы чисел во всех вершинах пирамиды были разными.
Развёртки четырёхугольной пирамиды (5+ класс)
Расставляем числа от 5 до 20 около каждой стороны граней так, чтобы:
- суммы двух чисел на каждом ребре были равны между собой (несложно посчитать, что сумма должна быть 25).
- суммы чисел на каждой грани были равны между собой (чуть сложнее почитать, что сумма должна быть 40).
Олимпиадные задачи про развёртки
Прикрепляю ниже подборку задач про развёртки. Я собирал эти задачи продолжительное время, поэтому источники, к сожалению, назвать не могу.
