Математики занимаются решением задач. В процессе этих попыток решения задач они изучают идеи и иногда придумывают другие математические задачи, с которыми нужно повозиться. На решение некоторых из этих задач поколениям математиков может потребоваться вся их карьера, а для некоторых требуется помощь суперкомпьютера. Другие кажутся просто неразрешимыми — хотя общее мнение таково, что в конечном итоге мы должны быть в состоянии решить все математические задачи.
История нерешенной математической задачи
Гипотеза Коллатца, или "задача 3n + 1", - это та, решения которой мы все еще ждем. Представленная в 1937 году немецким математиком Лотаром Коллатцем гипотеза Коллатца представляет собой, казалось бы, простой вопрос с удивительно неуловимым ответом. Гипотеза утверждает, что если вы повторите две простые арифметические операции, то в конечном итоге преобразуете каждое положительное целое число в единицу. Проблема в том, что пока не доказано, что это верно для всех целых чисел. Возможно, с каким-то числом последовательность ускакивает в бесконечность.
Математики проверили миллионы натуральных чисел, и никто не доказал, что это неверно. Но никто также не доказал, что это безоговорочно верно. Легендарный венгерский математик Пол Эрдож сказал: "Математика, возможно, не готова к таким задачам".
Коллатц выдвинул свою гипотезу всего через два года после получения докторской степени в Берлинском университете. Для человека, проделавшего за свою карьеру столько важной математической работы, то, что он известен новой задачей, которую может проверить группа четвероклассников, — это замечательно. Хотя все расчеты подтверждают идею о том, что гипотеза верна, тот факт, что она оставалась неразгаданной в течение 86 лет, делает ее еще более интригующей.
Почему гипотезу Коллатца также называют последовательностью '3n + 1'?
Последовательность Коллатца также называется последовательностью "3n+1", потому что она генерируется, начиная с любого положительного числа и следуя всего двум простым правилам: если оно четное, разделите его на два, а если нечетное, утроьте и прибавьте единицу. Следовательно, "3n + 1". Следуйте этим двум правилам снова и снова, и гипотеза утверждает, что, независимо от начального числа, вы всегда в конечном итоге достигнете цифры один.
Например, начните с числа семь. Это нечетное число, поэтому вы даете ему старую трактовку 3n + 1, которая равна 22. Это четное число, что означает, что вы должны сократить его пополам, что дает нам 11. Вот расчеты для остальной части последовательности:
11 x 3 = 33 + 1 = 34
34 / 2 = 17
17 x 3 = 51 + 1 = 52
52 / 2 = 26
26 / 2 = 13
13 x 3 = 39 + 1 = 40
40 / 2 = 20
20 / 2 = 10
10 / 2 = 5
5 x 3 = 15 + 1 = 16
16 / 2 = 8
8 / 2 = 4
4 / 2 = 2
2 / 2 = 1
Итак, если вы начнете с числа семь, последовательность Коллатца будет равна 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Если вы проделаете это снова, начиная с числа один, нечетного числа, вы умножите на три и прибавите единицу. Отсюда вы получите четыре, которые быстро уменьшаются обратно до единицы. Так начинается цикл, который никогда не заканчивается.
Ограниченные прорывы в "Последовательности градин"
Другое название чисел, сгенерированных в гипотезе Коллатца, - "последовательность градин". Как вы можете видеть из приведенной выше последовательности, числа движутся вверх-вниз, вверх-вниз, как градины в грозовом облаке, поднимаются вверх, собирают лед и, упав в нижнюю часть облака, снова уносятся вверх. В какой-то момент они падают на землю. Есть определенные числа, которые, как только вы достигаете их в своих расчетах, уменьшаются быстрее всего, но все они в конечном итоге сводятся к одному.
Итак, гипотеза Коллатца работает для миллионов и миллионов чисел — любых, содержащих менее 19 цифр, на случай, если вы подумывали попытать счастья с чем—нибудь меньшим, - но одна из проблем, которую математики пытаются решить, заключается в том, почему. Если бы они это понимали, у них был бы способ с уверенностью сказать, что это работает со всеми натуральными числами.