Начнем с определения. Точку назовем целой, если её координаты целые числа. Рассмотрим круг радиуса R. Сколько в нём целых точек? Давайте разбираться. Для удобства количество целых точек обозначим через K(R). При больших R число K(R) близко к площади круга. Рассмотрим величину Δ(R) равную K(R) – πR^2. Изучим поведение этой величины при стремлении R к бесконечности. Это и есть проблема Гаусса о числе целых точек в круге.
Данная проблема является частным случаем более общей проблемы о числе целых точек в области, ограниченной кривой y = f(x), где f(x) непрерывная неотрицательная на отрезке [a, b] функция, и прямыми x = a, x = b, y = 0.
Обозначим количество целых точек в этой области за T. Тогда T можно выразить так
Теперь общая задача разделилась на две:
1. Найти значение первой суммы;
2. Найти более точную асимтпотическую формулу для второй суммы.
Решение второй задачи составляет большую трудность для теории целых точек. А решение первой дается следующей теоремой:
Теорема 1(формула Эйлера-Маклорена). Пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция и функции ρ(x) и σ(x) определяются следующими равенствами
Тогда
Докажем данную теорему.
Будем считать, что на отрезке [a, b] есть хотя бы одна целая точка. Разобьем промежуток интегрирования целыми точками на новые. Получим следующее
На каждом из получившихся промежутков наши функции ρ(x) и σ(x) являются непрерывными и дифференцируемыми, т.е. d(σ(x)) = ρ(x)dx и d(ρ(x)) = -dx. Проинтегрировав дважды по частям наше выражение (с учётом дифференцируемости на промежутках нами введённых функций), получим
Подставим пределы, учитывая, что в целых точках значения σ(x) равно нулю (таким образом введена функция), и выйдет
Сложим всё и получим утверждение теоремы.
Перейдем теперь к самой проблеме Гаусса.
Теорема 2(Гаусс). Для K(R) справедлива следующая асимптотическая формула:
Докажем её.
Рассмотрим криволинейную трапецию
Так как мы работаем с функциями, возьмём только верхнюю половину. Воспользуемся первой формулой. Находим
Сложили количество центров координат (1 штука), точки, расположенные на осях (эти два типа точек не учитываются в формуле 1), в восемь раз увеличенное количество точек в нашей криволинейной трапеции и вычли четыре площади квадрата (при добавлении в восемь раз увеличенного количества точек некоторые учлись два раза). Преобразуем выражение
Используя теорему 1, преобразуем выражение выше
Вычислим. Получим что-то зависящее от R, что-то ограниченное и константы. Последние два не будут играть роли при росте R, поэтому
Откуда находим
где
Что и требовалось доказать.
Источник: А.А. Карацуба «Основы аналитической теории чисел».