Доброго времени суток дорогие подписчики и гости канала!
Данная статья продолжает тему цифр, чисел и систем счисления. Начало можно посмотреть в https://dzen.ru/a/Zb30vK9gIFIibCBd?share_to=link .
Итак, в предыдущей статье мы остановились на определении из Википедии: Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Я бы добавил, что это определение не совсем точное. А ведь математика- точная наука. Значит и надо формулировать точнее.
Разберёмся точнее в этом вопросе и попытаемся сделать более точное определение. Итак начнём.
Системы счисления подразделяются на непозиционные, позиционные и смешанные. На самом деле подразделов значительно больше, но мы остановимся на этих трёх подразделах, главных для понимания. Ведь главное для нашего канала- это просто о сложном.
Непозиционные систе́ма счисле́ния. В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения цифры в числе.
Это. пожалуй, самые древние системы счисления, дошедшие до наших дней и до настоящего времени успешно применяющиеся. И не напрасно изучение математики начинается именно с них. Мы все начинали со счётных палочек и кубиков. Когда мы отсчитывали количество палочек, равное количеству ,например, яблок, нам ни важно где и в каком порядке располагаются палочки. Главное, чтобы их было ровно столько, сколько и яблок. Отмерив необходимое количество палочек малыш приходит к маме и показывая их говорит: "Вот сколько у меня яблок". На лицо все признаки математических действий: подсчёт, запоминание, выдача результата. Вы скажете- а где же цифра? Роль цифры выполняют счётные палочки, а именно носитель информации. Каждая цифра здесь уникальна . их может быть бесчисленное множество Но полноценной цифра будет только тогда, когда она будет записана. Мы все помним Робинзона Крузо, который делал зарубки на дереве, чтобы не потерять счёт времени. Громоздко? Да. И потому данная система применяется ограничено, только там, где это целесообразно, либо как составляющая более сложных систем. Пожалуй, самой совершенной непозиционной системой является римская, В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, С - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. И не важно где эти буквы стоят. Но есть очень важное ограничение, Каждая буква не может применяться более трёх раз подряд. А это и ограничивает максимальное отражаемое число: MMMDCCCLXXXVIII = 3888. Это, конечно не может удовлетворить потребность человека в счёте, но римские цифры красивы и потому они они при меняются там, где что либо недо выделить ( например ХII Олимпиада или ХХ съезд какой-то партии). Вывод: непозиционные системы счисления не всегда удобны, а потому применяются ограничено.
Позиционные систе́ма счисле́ния. В позиционных системах счисления одина и та же цифра в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места , где она расположена. Место расположения цифры в числе называется разрядом. Это тоже очень древние системы, изобретённые более двух тысяч лет назад (то ли шумерами, то ли вавиловянами, то ли индусами ). Основой системы послужил счёт на пальцах. Так как их у человека десять, то и система получилась десятичной. Ну а если у какого-то человека меньше пальцев, то это проблема данного человека, а не системы. В Европу, которая всегда считала себя самой грамотной данную систему привезли итальянские купцы, позаимствовав её у арабов, а потому и цифры назвали арабскими. В настоящее время это самая удобная для человека, самая современная, самая употребимая система в мире. Именно потому её и изучают в школе. И именно поэтому мы начнем именно с неё, так как она наиболее понятна для всех.
Десятичная систе́ма счисле́ния имеет десять цифр(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),с помощью которых мы можем представить (написать) любое число. Для этого цифры числа располагаем поразрядно в строку. Счёт разрядам идёт справа налево : 1-й разряд единицы, 2-й разряд- десятки, 3-й разряд- сотни и т. д.Как же можно расшифровать число в десятичной системе? Давайте попробуем это сделать на примере.
325= 5х1+2х10+3х100 = 5+20+300
Что мы видим в полученном равенстве? Цифра первого разряда,а это 5 умножается на 1. Цифра второго разряда,а это 2 умножается на 10, а это ровно в десять раз больше, чем в предыдущем разряде. Цифра третьего разряда,а это 3 умножается на 100, а это ровно в десять раз больше, чем в предыдущем разряде. Получается, что каждый следующий разряд увеличивает цифру в 10 раз. Число, во сколько раз увеличивается "ценность" разрядов называется основанием системы и определяет название. Десять- значит система десятич-ная, Это число строго равно количеству цифр в системе (В двоичной - 2, в троичной-3 и т.д.). Надеюсь, что теперь вам становится ясно почему первый разряд числа мы называем единицы (да потому, что цифра первого разряда умножается на 1), цифра второго разряда - десятки (да потому, что цифра второго разряда умножается на 10),цифра третьего разряда - сотни (да потому, что цифра второго разряда умножается на 100). И в названия чисел содержат названия разрядов. Цифры единиц в названии не имеют уточнения. Десятки обозначаются: десять(т.е. один десяток). двадцать (два десятка), тридцать (три десятка и т.д.). Обособленно в этом списке стоят сорок (история умалчивает почему) и девяносто (тоже не ясно по какой причине). Но исключения только подтверждают правила. Возможно когда-то и на этот вопрос найдётся ответ. Сотни обозначаются: сто- одна сотня, двести- две сотни и т. д. Далее перечислять нет смысла- всё по аналогии.
Двоичная систе́ма счисле́ния имеет две цифры, с помощью которых мы можем представить (написать) любое число. Вот здесь мы должны уточнить, что двоичная система счисления долго не могла Для этого цифры числа располагаем поразрядно в строку. Счёт разрядам идёт справа налево . Основание равно 2. Цифры - две ноль и один. Конечно же цифры надо бало бы придумать другие. Но исторически сложилось так, что не придумали ничего лучше, чем использовать две первые арабские цифры десятичной системы. Это конечно же вносит определённую путаницу, особенно если мы используем как двоичную так и десятичную системы счисления. Как выход из положения было предложено в правом нижнем углу после записанного числа ставить маленькую арабскую цифру 2, если число записано в двоичной системе , или 10 ,если число записано в десятичной системе.
Ценность разрядов :
1-й разряд - единицы
2-й разряд - двойки
3-й разряд - четвёрки
4-й разряд - восьмёрки и т. д
Рассмотрим пример
Обратите внимание на то, что мы спокойно умножаем цифры двоичной системы на цифры десятичной системы. Это стало возможным из- за того, что для представления цифр в двоичной системе взяты две первые цифры десятичной системы счисления, т. е они совпадают. Одновременно мы перевели число из двоичной системы в десятичную. А вот обратный перевод чисел из десятичной системы в двоичную осуществляется сложнее. но об этом и многом другом узнаете в следующей статье.
Уважаемые подписчики и гости канала ! Ставьте лайки. Подписывайтесь на канал, Вас ждут новые интересные публикации.