Задача: Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром в точке O и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; точка M — середина отрезка BC. Докажите, что точки M, O, D и E лежат на одной окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об отрезках касательных AB = AC ⇒ △BAC - равнобедренный. AM - медиана, проведённая к основанию р/б треугольника ⇒ по св-у р/б треугольника медиана AM также является высотой и биссектрисой. А поскольку центр окружности O лежит на биссектрисе угла ∠BAC, то точки A, M и O лежат на одной прямой, а именно на биссектрисе угла ∠BAC.
Если точки M, O, D и E лежат на одной окружности, то AE и AO являются её секущими, тогда по теореме о произведении отрезков секущих AD * AE = AM * AO. Докажем справедливость данного равенства.
По теореме о квадрате отрезка касательной AB^2 = AD * AE. Проведём радиус OB, по св-у касательной OB⟂AB ⇒ △ABO - прямоугольный. Тогда BM - высота проведённая к гипотенузе ⇒ △AMB - прямоугольный (см. рисунок)
Рассмотрим прямоуг. △ABO и △AMB:
- ∠BAO - общий
⇒ △ABO ~ △AMB по I признаку подобия треугольников ⇒ AB/AM = AO/AB; AB^2 = AM * AO ⇒ AD * AE = AM * AO.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.