Задача: Хорда AB разбивает круг на два сегмента. В один из них вписали произвольную окружность. Докажите, что длина касательной к этой окружности, проведённой из середины дуги другого сегмента, не зависит от выбора вписанной в сегмент окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Для решения данной задачи нам потребуется знания о лемме Архимеда, поэтому поделим решение данной задачи на 2 части: знакомство с леммой и её доказательство, и решение задачи с помощью данной леммы.
ЧАСТЬ I
Данная лемма гласит, что если в один из сегментов, на которые произвольная хорда делит окружность, вписать малую окружность, то прямая, проходящая через точки касания малой окружности с хордой и большей окружностью, делит хотя бы одну из образованных дуг большей окружности пополам (см. рисунок)
Докажем данную лемму. Начертим окружность ω c центром O, проведём произвольную хорду AB. и впишем в один из сегментов окружность φ c центром O' (см. рисунок)
Проведём прямую MN, она пересечёт окружность ω в точке C. Теперь проведём радиусы OC и ON в окружности ω, и, O'M и O'N в окружности φ. Поскольку ON и O'N радиусы проведённые в точку касания окружностей, то ON и O'N лежат на одной прямой (см. рисунок)
Заметим, что O'M = O'N и OC = ON как радиусы, поэтому △CON и △MO'N - равнобедренные ⇒ ∠OCN = ∠ONC и ∠O'MN = ∠ONC ⇒ ∠OCN = ∠O'MN, однако поскольку данные углы соответственные, то OC∥O'M. По св-у касательной O'M⟂AB ⇒ OC⟂AB.
Если радиус перпендикулярен хорде, то данную хорду и, соответственно, дугу он делит пополам ⇒ С - середина дуги ︶ACB.
Что и требовалось доказать.
ЧАСТЬ II
Итак, вернёмся к решению задачи. Пусть D - точка касания окружностей и M - точка касания хорды AB и малой окружности. По лемме Архимеда прямая DM пересечёт бо́льшую окружность в точке C, так как C - середина дуги (см. рисунок)
По теореме об отрезке касательной CN^2 = CM * CD. Проведём хорды AC и AD.
Рассмотрим △ACM и △DCA:
∠CAM = ∠ADC (так как опираются на равные дуги)
∠ACD - общий
⇒ △ACM ~ △DCA по I признаку подобия треугольников ⇒ AC/CD = CM/AC; AC^2 = CM * CD ⇒ AC^2 = CN^2 ⇒ AC = CN. Поскольку AC не зависит от выбора вписанной в сегмент окружности, то и CN не зависит от данного выбора.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.