Задача: В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если BC = 4, AD = 9.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Поскольку требуется найти расстояние, то EH⟂CD. Продолжим AB и CD до пересечения в точке F. Рассмотрим прямоугольные △FAD и △FBC:
- ∠AFD - общий
⇒△FAD ~ △FBC по I признаку подобия треугольников ⇒ CF/DF = 4/9. Пусть CF = 4y, тогда FD = 9y.
По теореме о квадрате отрезка касательной EF^2 = CF * FD; EF = √(4y * 9y) = √(36y^2) = 6y (см рисунок)
Рассмотрим прямоуг. △FBC и △FHE:
- ∠EFH - общий
⇒△FBC ~ △FHE по I признаку подобия треугольников ⇒ x/4 = EF/CF; x = 4 * EF/CF = 4 * 6y/4y = 6.
Ответ: 6.
Задача решена.