Векторы на ЕГЭ по математике | теория

В 2024 году ФИПИ порадовало нас новым заданием №2 на векторы.
Идём изучать теорию.

Определение вектора

Пусть А - начало вектора, а B - его конец, тогда сам вектор обозначается AB.

Вектор - это направленный отрезок, который имеет точку начала А и точку конца B.

Вектор на плоскости

Координаты вектора

Для нахождения координат вектора необходимо из координат точки конца вычесть координаты точки начала.

Нахождение координат вектора

Пример решения задания

Длина (модуль) вектора

Длина (модуль) вектора находится по следующей формуле:

Вычисление длины вектора

Линейные операции над векторами

Сложение (вычитание) векторов в геометрической форме

Сложение двух векторов можно проводить геометрически двумя способами.

Правило треугольника: совмещаем путем параллельного переноса начало второго вектора с концом первого. Тогда суммой этих векторов будет вектор, идущий из начала первого в конец второго, т.е. этот вектор замыкает ломаную из двух векторов до треугольника.

Правило треугольника

Правило параллелограмма: путем параллельного переноса совмещаем начала обоих векторов, строи на этих векторах параллелограмм. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма, идущий из общего начала, будем суммой векторов.

Правило параллелограмма

Вычитание двух векторов можно заменить сложением вектора с вектором противоположным второму вектору.

Итак, для того, чтобы найти разность двух векторов совмещаем начала векторов, строим вектор, противоположный второму и находим сумму двух векторов. Переносим полученный вектор параллельно самому себе и получаем вектор разности, который соединяет концу данных векторов, причем направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Вычитание векторов

Сложение (вычитание векторов) в алгебраической форме

Для того, чтобы сложить (вычесть) два вектора необходимо сложить (вычесть) соответствующие координаты векторов:

Линейные операции над векторами в алгебраической форме

Умножение вектора на число

Определение умножения вектора на число

Для того, чтобы произвести умножение вектора на число в алгебраической форме необходимо каждую координату этого вектора умножить на это число.

Умножение вектора на число в алгебраической форме

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Использование скалярного произведение

Часто используется на ЕГЭ по математике

Скалярное произведение векторов

Важное уточнение: если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение будет равно нулю.