Обобщенный закон гука формула

Обобщённый закон Гука — это расширение классического закона Гука, который описывает связь между напряжениями и деформациями в упругом теле при сложном напряжённом состоянии. В отличие от простой формы закона Гука, применимой для одномерного растяжения или сжатия, обобщённый закон Гука учитывает все шесть компонентов напряжения и шесть компонентов деформации.

Кратко, классический закон Гука:

• Описывает линейную зависимость между напряжением (σ) и относительной деформацией (ε) при одноосном растяжении или сжатии.
• Формула: σ = Eε, где E – модуль Юнга (характеристика материала).

Обобщенный закон Гука:

Для трехмерного тела, находящегося в состоянии сложного напряжения, обобщенный закон Гука выражается системой линейных уравнений, связывающих компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций:

В тензорной форме:

σᵢⱼ = Cᵢⱼₖₗ εₖₗ

Где:

• σᵢⱼ - компоненты тензора напряжений (i, j = 1, 2, 3). Тензор напряжений описывает силы, действующие на площадку в заданной точке тела.
• εₖₗ - компоненты тензора деформаций (k, l = 1, 2, 3). Тензор деформаций описывает изменение формы и размеров тела.
• Cᵢⱼₖₗ - компоненты тензора упругости (модулей упругости), четырёхиндексная величина, характеризующая упругие свойства материала.

В развернутой форме (для ортотропного материала, часто используемого в инженерии, особенно в композитах):

Это более сложная запись, но она показывает взаимосвязь между каждой компонентой напряжения и каждой компонентой деформации. В самом общем случае (анизотропный материал) тензор упругости имеет 81 компонент, но благодаря симметрии тензоров напряжений и деформаций число независимых компонент сокращается до 36. Для изотропных материалов, свойства которых не зависят от направления, число независимых компонент еще меньше - всего 2. Для ортотропных материалов, свойства которых различны в трех взаимно перпендикулярных направлениях, количество независимых компонент составляет 9.

Для изотропного материала (самый простой случай), обобщенный закон Гука можно выразить через два упругих модуля: модуль Юнга (E) и коэффициент Пуассона (ν):

εₓ = (1/E) * [σₓ - ν(σᵧ + σᵣ)]
εᵧ = (1/E) * [σᵧ - ν(σₓ + σᵣ)]
εᵣ = (1/E) * [σᵣ - ν(σₓ + σᵧ)]
γₓᵧ = τₓᵧ / G
γₓᵣ = τₓᵣ / G
γᵧᵣ = τᵧᵣ / G

Где:

• εₓ, εᵧ, εᵣ - относительные линейные деформации вдоль осей x, y и z.
• σₓ, σᵧ, σᵣ - нормальные напряжения вдоль осей x, y и z.
• γₓᵧ, γₓᵣ, γᵧᵣ - относительные сдвиговые деформации в плоскостях xy, xz и yz.
• τₓᵧ, τₓᵣ, τᵧᵣ - касательные напряжения в плоскостях xy, xz и yz.
• E - модуль Юнга (модуль упругости при растяжении/сжатии).
• ν - коэффициент Пуассона (отношение поперечной деформации к продольной).
• G - модуль сдвига (модуль упругости при сдвиге), связан с E и ν соотношением: G = E / [2(1 + ν)].

Ключевые понятия:

• Напряжение (σ): Мера внутренних сил, действующих внутри деформируемого тела, возникающих в ответ на внешние силы. Измеряется в Паскалях (Па) или мегапаскалях (МПа). Различают нормальные напряжения (σₓ, σᵧ, σᵣ), действующие перпендикулярно поверхности, и касательные напряжения (τₓᵧ, τₓᵣ, τᵧᵣ), действующие параллельно поверхности.
• Деформация (ε): Мера изменения формы и размеров тела под воздействием внешних сил. Различают относительные линейные деформации (εₓ, εᵧ, εᵣ) и относительные сдвиговые деформации (γₓᵧ, γₓᵣ, γᵧᵣ).
• Модуль Юнга (E): Характеризует способность материала сопротивляться деформации при растяжении или сжатии.
• Коэффициент Пуассона (ν): Характеризует отношение поперечной деформации к продольной при одноосном растяжении или сжатии.
• Модуль сдвига (G): Характеризует способность материала сопротивляться деформации при сдвиге.

Практическое применение:

Обобщенный закон Гука используется в:

• Расчете на прочность: Определение напряженно-деформированного состояния конструкций под нагрузкой.
• Проектировании машин и сооружений: Обеспечение надежности и безопасности конструкций.
• Конечно-элементном анализе (FEA): Численное моделирование напряженно-деформированного состояния сложных конструкций.
• Определении упругих свойств материалов: Экспериментальное определение упругих модулей материалов.

Важно помнить:

• Обобщенный закон Гука справедлив только для упругих деформаций, то есть деформаций, которые исчезают после снятия нагрузки.
• Закон предполагает, что материал является линейно-упругим, то есть зависимость между напряжениями и деформациями является линейной.
• Закон не учитывает эффекты пластичности, ползучести, усталости и другие нелинейные явления.

Обобщенный закон Гука является фундаментальным законом механики деформируемого твердого тела и широко используется в инженерии для решения различных задач, связанных с расчетом на прочность и проектированием конструкций.