Оценить устойчивость системы с передаточной функцией

Чтобы оценить устойчивость системы, заданной передаточной функцией, существует несколько методов. Самые распространенные и важные:

1. Анализ полюсов передаточной функции (Критерий устойчивости по полюсам):

• Теория: Система устойчива, если все полюса передаточной функции лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости (т.е., все полюса имеют отрицательные действительные части). Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости или на мнимой оси, система неустойчива.
• Метод:Найдите полюса передаточной функции. Полюса - это корни знаменателя передаточной функции. То есть, решите уравнение: Знаменатель(s) = 0.
  Определите действительные части всех полюсов.
  Если все действительные части отрицательны, система устойчива. Если хотя бы одна действительная часть положительна или равна нулю, система неустойчива.
  
• Пример:Пусть передаточная функция:
• G(s) = 1 / (s + 2)
  Полюс: s + 2 = 0 => s = -2
  Действительная часть полюса: -2 (отрицательная)
  Вывод: Система устойчива.
  Пусть передаточная функция:
• G(s) = 1 / (s - 1)
  Полюс: s - 1 = 0 => s = 1
  Действительная часть полюса: 1 (положительная)
  Вывод: Система неустойчива.
  Пусть передаточная функция:
• G(s) = 1 / (s^2 + 1)
  Полюса: s^2 + 1 = 0 => s = ±j
  Действительные части полюсов: 0 (равны нулю)
  Вывод: Система неустойчива (точнее, система находится на границе устойчивости, ее реакция будет постоянно колебаться).
  

2. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица:

• Теория: Это алгебраический метод, позволяющий определить, сколько корней характеристического уравнения (знаменателя передаточной функции) находится в правой полуплоскости, без фактического решения уравнения.
• Метод:
  Запишите характеристическое уравнение:
• a₀sⁿ + a₁sⁿ⁻¹ + a₂sⁿ⁻² + … + aₙ = 0
  Составьте таблицу Рауса:
• sⁿ | a₀ a₂ a₄ a₆ ...
  sⁿ⁻¹ | a₁ a₃ a₅ a₇ ...
  sⁿ⁻² | b₁ b₂ b₃ b₄ ...
  sⁿ⁻³ | c₁ c₂ c₃ c₄ ...
  ...
  s⁰ | z₁
  где:b₁ = (a₁a₂ - a₀a₃) / a₁
  b₂ = (a₁a₄ - a₀a₅) / a₁
  c₁ = (b₁a₃ - a₁b₂) / b₁
  c₂ = (b₁a₅ - a₁b₃) / b₁
  и т.д.
  
  Определите количество смен знака в первом столбце таблицы Рауса.
  Количество смен знака равно количеству корней характеристического уравнения, находящихся в правой полуплоскости.
  Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были положительными (или отрицательными, т.е. не было смен знаков).
• Пример:
  Пусть характеристическое уравнение:
• s³ + 2s² + 3s + 6 = 0
  Таблица Рауса:s³ | 1 3
  s² | 2 6
  s¹ | (2*3 - 1*6) / 2 = 0
  s⁰ | 6
  Здесь возникает деление на 0. В этом случае нужно заменить 0 на очень маленькое положительное число ε, и продолжить вычисления. А затем проанализировать знак при ε стремящимся к 0. В данном случае система неустойчива, так как смена знака была бы при переходе от s² к s¹.
  Пусть характеристическое уравнение:
• s³ + 6s² + 11s + 6 = 0
  Таблица Рауса:s³ | 1 11
  s² | 6 6
  s¹ | (6*11 - 1*6) / 6 = 10
  s⁰ | 6
  Все элементы первого столбца положительны.
  Вывод: Система устойчива.

3. Критерий устойчивости Найквиста:

• Теория: Использует график Найквиста (частотная характеристика разомкнутой системы) для определения устойчивости замкнутой системы.
• Метод:Постройте график Найквиста (годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы - АФЧХ).
  Определите количество охватов точки (-1, j0) графиком Найквиста.
  Рассчитайте число неустойчивых полюсов разомкнутой системы (P).
  Примените критерий Найквиста: Z = N + P, где Z - количество неустойчивых полюсов замкнутой системы, N - количество охватов точки (-1, j0) графиком Найквиста (по часовой стрелке считается положительным, против часовой стрелки - отрицательным).
  Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы Z = 0 (т.е., в замкнутой системе не было неустойчивых полюсов).
  

4. Критерий устойчивости Боде:

• Теория: Основан на анализе амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик разомкнутой системы.
• Метод:Постройте графики АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы (графики Боде).
  Определите частоту среза усиления (ωg), на которой АЧХ пересекает уровень 0 дБ.
  Определите частоту среза фазы (ωp), на которой ФЧХ пересекает уровень -180°.
  
  Рассчитайте запас по усилению (GM) и запас по фазе (PM):GM = -A(ωp) дБ, где A(ωp) - значение АЧХ на частоте среза фазы. (чем больше, тем лучше)
  PM = 180° + φ(ωg), где φ(ωg) - значение ФЧХ на частоте среза усиления. (чем больше, тем лучше)
  Система устойчива, если GM > 0 дБ и PM > 0°. Типичные значения для запаса по фазе - 30-60 градусов, для запаса по усилению - 6-12 дБ. Практические советы:
  
• Для простых систем (передаточная функция низкого порядка) достаточно анализа полюсов.
• Для систем более высокого порядка удобно использовать критерий Рауса-Гурвица.
• Критерии Найквиста и Боде используются для анализа устойчивости систем с запаздыванием и для проектирования систем управления.
• Для сложных систем, моделирование в специализированных программах (например, MATLAB/Simulink) облегчает анализ устойчивости.

Важно: Применение этих методов требует знания теории автоматического управления и понимания математического аппарата.