Характеристический многочлен оператора

Характеристический многочлен оператора – это многочлен, который играет важную роль в теории линейных операторов и матриц. Он используется для нахождения собственных значений оператора, а также для анализа структуры оператора.

Определение:

Пусть A – линейный оператор, действующий в конечномерном векторном пространстве V над полем F (чаще всего F – это поле действительных чисел R или поле комплексных чисел C). Пусть A – матрица этого оператора в некотором базисе.

Тогда характеристический многочлен оператора A определяется как:

p(λ) = det(λI - A)

где:

• λ – переменная (формально, λ – элемент поля F).
• I – единичная матрица того же размера, что и A.
• det() – определитель матрицы.

Свойства характеристического многочлена:

• Степень: Характеристический многочлен p(λ) является многочленом степени n, где n – размерность векторного пространства V (или размер матрицы A).
• Корни: Корни характеристического многочлена являются собственными значениями оператора A. То есть, если p(λ₀) = 0, то λ₀ – собственное значение оператора A.
• Инвариантность: Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса, в котором представлена матрица A. Это означает, что если A и B – матрицы одного и того же оператора в разных базисах (то есть, они подобны), то их характеристические многочлены совпадают.

Пример:

Пусть дана матрица:

A = | 2 1 | | 1 2 |

Найдем ее характеристический многочлен:

λI - A = | λ-2 -1 | | -1 λ-2 |

p(λ) = det(λI - A) = (λ-2)(λ-2) - (-1)(-1) = λ² - 4λ + 4 - 1 = λ² - 4λ + 3

Корни этого многочлена:

λ² - 4λ + 3 = 0

(λ - 3)(λ - 1) = 0

λ₁ = 3, λ₂ = 1

Следовательно, собственные значения оператора, представленного матрицей A, равны 3 и 1.

Значение характеристического многочлена:

• Нахождение собственных значений: Основное применение характеристического многочлена – нахождение собственных значений линейного оператора. Собственные значения важны для понимания поведения оператора и для диагонализации матрицы.
• Диагонализация матрицы: Если у оператора (матрицы) есть n линейно независимых собственных векторов, то матрицу можно привести к диагональному виду, используя матрицу, составленную из собственных векторов. Диагональные элементы диагональной матрицы будут соответствовать собственным значениям.
• Теорема Гамильтона-Кэли: Эта теорема утверждает, что каждый линейный оператор аннулируется своим характеристическим многочленом. То есть, если p(λ) = λⁿ + aₙ₋₁λⁿ⁻¹ + ... + a₁λ + a₀, то p(A) = Aⁿ + aₙ₋₁Aⁿ⁻¹ + ... + a₁A + a₀I = 0, где 0 – нулевая матрица.
• Определение минимального многочлена: Характеристический многочлен используется для определения минимального многочлена оператора (многочлена наименьшей степени, аннулирующего оператор). Минимальный многочлен является делителем характеристического многочлена.
• Анализ структуры оператора: Характеристический многочлен помогает анализировать структуру линейного оператора, в частности, определять его жорданову форму.

В заключение, характеристический многочлен – это мощный инструмент в линейной алгебре и теории операторов, который позволяет находить собственные значения, анализировать структуру операторов и решать различные задачи, связанные с линейными преобразованиями.