По многозвенным RC-фильтрам написано достаточно много, но доступная информация, к сожалению, весьма ограничена, в особенности в учебных изданиях.
Обычно приводится расчет однозвенного RC-фильтра (первого порядка), затем объявляется, что бόльшую крутизну спада в полосе подавления обеспечивают многозвенные фильтры более высоких порядков. Для многозвенного RC-фильтра порядок, т.е. параметр, задающий величину спада амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в полосе подавления, равен числу звеньев фильтра.
Формулы для расчета АЧХ многозвенных фильтров обычно не выводятся и не приводятся, как и их АЧХ. Обычно объявляется, что если последующие звенья не нагружают предыдущие (что требует либо существенного увеличения сопротивлений в каждом звене, либо буферизации звеньев), то АЧХ многозвенного фильтра равна произведению АЧХ его звеньев (при равенстве R и C звеньев возведению коэффициента передачи одного звена в степень, равную числу звеньев), а логарифмические характеристики (ЛАЧХ) находят как сумму логарифмических характеристик отдельных звеньев.
В данной работе мы решили привести формулы АЧХ многозвенных RC-фильтров вплоть до 5-звенного, при однотипности звеньев, т.е. исключении условия, что последующее звено не нагружает предыдущее.
Многозвенные RC-фильтры низких частот
Коэффициент передачи фильтров определяется как Kп=Uвых/Uвх, или отношение выходного напряжения к входному. Логарифмический коэффициент передачи в децибелах определяется как L(ω)=20 lg Kп, при основании логарифмов 10 (десятичный логарифм).
Для унификации общепринято применять нормирование по частоте, приводящее расчет различных типов фильтров к расчету нормированного фильтра (прототипа), у которого нормированная частота среза принимается равной единице. Для однозвенного RC-фильтра нормированная частота среза равна ω=1/RC, где ω - круговая частота, определяемая через число пи=3,14159..., и равная ω=2πf, где f - циклическая частота.
Выходное сопротивление предыдущей цепи принимается нулевым, входное последующей цепи (нагрузки) бесконечным.
Однозвенный фильтр
Ниже представлены схема и формула АЧХ 1-звенного RC-фильтра НЧ.
Двухзвенный фильтр
Трехзвенный фильтр
Четырехзвенный фильтр
Пятизвенный фильтр
Как видно, при стремлении ω к бесконечности, Kп стремится к 1/ω^n, где n - число звеньев фильтра, тем самым порядок фильтра равен числу звеньев RC-фильтра, или по более общему правилу числу реактивных элементов (в данном частном случае числу конденсаторов).
Амплитудно-частотные характеристики RC-фильтров НЧ
Ниже отображены ЛАЧХ представленных выше RC-фильтров НЧ при числе звеньев от 1 до 5.
Сплошные линии - ЛАЧХ представленных выше схем фильтров, при равенстве всех R и С. Штриховые линии - идеализированные ЛАЧХ для случая, когда элементы отдельных звеньев подбирают так, чтобы каждое последующее звено не влияло на работу предыдущего, и общий коэффициент передачи многозвенного фильтра равен произведению коэффициентов передачи всех звеньев.
Из графиков следует, что для однозвенного фильтра оба коэффициента передачи совпадают по определению, для двухзвенного отличие невелико, но оно значительно возрастает с ростом числа звеньев, достигая неприемлемых для пользования упрощенными формулами значений.
Этот факт хорошо известен, но реальные соотношения, как правило, не приводятся. Ниже, в качестве примера, фрагмент лабораторной работы студентов из пособия, где предлагается рассчитать иделизированную АЧХ 2-звенного RC-фильтра (на графике Ктеор), и сравнить ее с реальной (на графике Кпр). Хорошо видно приведенное выше на графике отличие между 2 оранжевыми линями - точки на начальном участке характеристики лежат ниже линии, совпадая на высоких частотах.
Многозвенные RC-фильтры низких частот с сохранение общего сопротивления и общей емкости
В приведенных выше формулах предполагается, что многозвенный фильтр получается наращиванием одинаковых звеньев, что приводит к увеличению общего сопротивления фильтра постоянному току, а тем самым снижению напряжения на нагрузке, если фильтры являются сглаживающими в цепях питания, где рекомендуемое значение падения напряжения на таком фильтре не превышает 5% от величины напряжения питания.
В частности, ниже рекомендация из Справочника радиолюбителя-конструктора, согласно которой при изменении числа звеньев сглаживающего фильтра необходимо сохранять неизменным общее сопротивление резисторов фильтра:
Формулы коэффициентов передачи многозвенных RC-фильтров пересчитаны исходя из перераспределения сопротивления R и емкости конденсатора С однозвенного фильтра на число звеньев многозвенного фильтра, с расчетом на сохранение общего сопротивления фильтра и общей емкости. Так, для n-звенного фильтра сопротивления фильтра будут равны R/n, а емкости C/n.
При этом нормированная частота по-прежнему рассчитывается как ω=1/RC.
Двухзвенный фильтр
Ниже представлены схема и формула АЧХ 2-звенного RC-фильтра НЧ, при условии что R=0,5 от сопротивления R однозвенного фильтра, а С=0,5 от емкости конденсатора однозвенного фильтра.
Трехзвенный фильтр
Четырехзвенный фильтр
Пятизвенный фильтр
Амплитудно-частотные характеристики RC-фильтров НЧ с сохранением общего сопротивления и общей емкости
Ниже отображены ЛАЧХ представленных выше RC-фильтров НЧ при числе звеньев от 1 до 5.
Не сразу интуитивно понимается, отчего на низких частотах (в левой стороне графика) с ростом числа звеньев и перераспределением сопротивлений и емкостей многозвенный фильтр лучше пропускает входное напряжение, чем однозвенный, и соответствие ожидаемому ходу зависимостей наблюдается лишь на более высоких частотах, в правой стороне графика.
Для интуитивного осознания на примере ниже на рисунке а) приведен пример с сопротивлением R=1 в виде потенциометра со скользящим контактом и сохранением условия общей емкости С1+С2=1. Крайнему слева положению движка потенциометра соответствует рисунок б), а среднему положению движка потенциометра рисунок в). Исходя из нулевого внутреннего сопротивления источника входного напряжения коэффициент передачи фильтра б) определится выражением с).
Ниже на рисунке для сопоставления приведены АЧХ 3 схем, последовательно с перемещением движка потенциометра по рисунку а) справа налево.
В полном соответствии с ожиданиями ЛАЧХ схемы с промежуточным положением движка лежит (при низких частотах, в левой половине графика) между ЛАЧХ схем с крайними положениями движка. И лишь на высоких частотах (в правой половине графика) оранжевая линия уходит вниз вследствие своей более высокой крутизны (12 дБ/октаву или 40 дБ/декаду), что определяется повышением порядка фильтра до 2. У фильтров 1-го порядка (красная и синяя линии) эти значения равны соответственно 6 дБ/октаву или 20 дБ/декаду.
Сравнение коэффициентов прямоугольности многозвенных RC-фильтров НЧ
Коэффициент прямоугольности фильтра — это отношение частот на АЧХ фильтра, соответствующих разным уровням (обычно 0,707 и 0,1 или 3 и 20 дБ, иногда в качестве второго уровня указывается 30 дБ). При этом специалисты не определились окончательно, какую из частот помещать в числитель, а какую в знаменатель отношения.
Тем самым, у идеального (и физически не реализуемого) фильтра коэффициент прямоугольности равен 1, а у неидеальных, в зависимости от выбора метода, больше или меньше 1, с тем более высоким качеством фильтра, чем этот коэффициент ближе к 1.
Для наглядного отображения прямоугольности исследованных фильтров ниже приведены АЧХ фильтров, с их смещением по оси частот до выравнивания уровней на некоторой условной частоте до значения 0,707 (- 3 дБ).
Из графиков следует, что коэффициент прямоугольности исследованных 5 фильтров, с рассмотрением в качестве одного уровня -3 дБ, а второго что 20 дБ, что 30 дБ, практически принимает всего 2 значения - одно для 1-звенного фильтра, а другое для 2-5-звенных фильтров.
Тем самым, если не требуется особо высокая крутизна фильтра (что реализуемо только на очень высоких в сравнении с частотой среза частотах), стремиться к фильтрам с количеством RC-звеньев более 2 необходимости нет.