Рассчитаем массу ракеты, способной доставить 100 тонн полезной нагрузки к ближайшей звезде — Проксиме Центавра (расстояние ≈ 4.24 световых года) — при постоянном ускорении/торможении в 1g и с идеальным топливом, полностью превращающимся в энергию по формуле Эйнштейна.
Условия задачи
- Полезная нагрузка: m =100 000 кг
- Ускорение/замедление: a = 1g = 9.81 м/с²
- Расстояние до цели: d = 4.24 св. года = 4.01×10¹⁶ м
- Движение: половина пути разгон с ускорением a, вторая половина — торможение с ускорением a.
- Преобразование массы в энергию: E = mc²
- Идеальный реактивный двигатель (аннигиляция, КПД η = 100%)
- Ракета работает как релятивистский ракетный двигатель.
Релятивистская формула ракеты (Циолковского)
где:
- m₀: начальная масса ракеты,
- mf: конечная масса (после выработки топлива),
- v: конечная скорость,
- c: скорость света.
Но в случае ускорения 1g на протяжении значительного времени мы можем выразить путь, пройденный ракетой при постоянном собственном ускорении (в собственной системе координат), используя релятивистские формулы:
Формулы движения при постоянном собственном ускорении
Полный путь (туда и торможение) — 2 этапа по пути d/2.
Для одного этапа (разгон):
Решаем это уравнение относительно собственного времени τ, проведенного в разгонной фазе. Удвоив его, получим полное собственное время до цели, а из этого уже — релятивистскую скорость и, соответственно, массу ракеты.
Решим численно
- Найду собственное время разгона.
- Вычислю максимальную достигнутую скорость.
- Найду отношение начальной массы к массе полезной нагрузки с помощью релятивистского уравнения.
Характеристики полёта
(к Проксиме Центавра при ускорении 1g)
- Полезная нагрузка: 100 тонн
- Общая начальная масса ракеты: ≈ 667 850 кг
- Максимальная скорость, достигнутая на середине пути: ≈ 0.95 с (94.9% от скорости света)
- Собственное время экипажа до цели (в одну сторону): ≈ 1.77 года
- Общее собственное время (туда и обратно): ≈ 3.54 года
Объяснение
- Масса ракеты растёт экспоненциально от скорости: для 0.95 c это уже почти в 6.7 раза больше массы полезной нагрузки.
- Мы учитывали только идеальное топливо, превращающееся полностью в энергию (аннигиляция, например, материя-антиматерия), и идеальный выхлоп — скорость истечения равна скорости света.
- В случае «обычного» реактивного топлива (даже термоядерного), масса ракеты была бы астрономически больше.