Векторы — мощный математический инструмент, позволяющий работать с направленными величинами. Понимание их свойств и операций необходимо для решения задач в математике, физике и инженерии
Что такое вектор?
Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется двумя основными параметрами:
- длиной (модулем вектора)
- направлением (углом наклона к одной из осей координат)
В отличие от обычного отрезка, который определяется только длиной, вектор учитывает, куда он направлен. Например, два вектора могут иметь одинаковую длину, но если их направления различны, это разные векторы
Векторы широко применяются в математике, физике, компьютерной графике (например, градиенты цветов) и других науках
Координаты вектора
Если заданы начальная и конечная точки вектора, его координаты можно найти по формуле:
Пример:
Пусть точка A(0, 0), а точка B(4, 3) Тогда вектор AB имеет координаты (4 - 0, 3 - 0) = (4, 3)
Длина вектора
Длина (модуль) вектора a = (x, y) вычисляется по формуле:
Пример:
Для вектора AB = (4, 3) длина равна:
Основные операции с векторами
1. Сложение векторов
Геометрическая интерпретация:
При сложении векторов их направления учитываются. Если один вектор смещает точку на (3, 2), а другой — на (2, 1), то суммарное смещение составит (5, 3)
2. Вычитание векторов
Вычитание выполняется аналогично сложению:
3. Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k каждая его координата умножается на k:
Пример:
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов
вычисляется двумя способами:
1. Через координаты:
2. Через длины и угол между векторами:
где gamma — угол между векторами
Пример:
Нахождение угла между векторами
Из формулы скалярного произведения можно выразить угол:
Пример:
Практическое применение векторов
Векторы используются в:
- Физике (силы, скорость)
- Компьютерной графике (градиенты, 3D-моделирование)
- Навигации (расчет направлений и расстояний)
Информации выше будет достаточно для сдачи ЕГЭ. Если вас интересует более углубленное изучение, то освоив базовые операции (сложение, умножение, скалярное произведение), можно переходить к более сложным темам, таким как векторное произведение и матричные преобразования