Графики функций — одна из ключевых тем в ОГЭ по математике, которая проверяет умение "читать" графики и анализировать функциональные зависимости. В этой статье мы разберем все типы задач с графиками, которые встречаются на экзамене, и научимся их решать.
1. Основные типы графиков на ОГЭ
На экзамене встречаются графики следующих функций:
Линейная (y = kx + b)
Квадратичная (y = ax² + bx + c)
Обратная пропорциональность (y = k/x)
Модуль (y = |x|)
Корень (y = √x)
Показательная и логарифмическая (в простых случаях)
2. Типовые задания и методы решения
Тип 1. Определение функции по графику
Задача: Какой формуле соответствует изображенный график?
Алгоритм решения:
1. Определить тип графика (прямая, парабола, гипербола и т.д.)
2. Найти характерные точки (пересечения с осями, вершины)
3. Подставить координаты точек в предложенные формулы
Пример:
График проходит через точки (0;3) и (2;1). Варианты:
а) y = −x + 3
б) y = x² + 3
в) y = 3/x
Решение:
1. График линейный (прямая) ⇒ исключаем варианты б) и в)
2. Проверяем а):
при x=0: y=3 ✔
при x=2: y=−2+3=1 ✔
Ответ: а)
Тип 2. Определение значений функции по графику
Задача: По графику функции y = f(x) найдите f(2).
Алгоритм:
1. Найти на оси Ox точку x=2
2. Провести вертикаль до пересечения с графиком
3. Определить y-координату точки пересечения
Важно: Если в точке x=2 график имеет разрыв или не существует, это нужно указать.
Тип 3. Нахождение наибольшего/наименьшего значения
Задача: По графику определите наибольшее значение функции на отрезке [−2;3].
Алгоритм:
1. Найти на оси Ox отрезок от −2 до 3
2. Выделить соответствующую часть графика
3. Определить самую высокую точку на этом участке
4. Записать её y-координату
Тип 4. Определение свойств функции
Задача: Установите соответствие между свойствами функции и графиками:
1) Функция возрастает на всей области определения
2) Функция имеет минимум в точке x=1
3) Функция принимает только положительные значения
Алгоритм:
1. Анализируем каждый график:
Возрастание/убывание (движемся слева направо)
Точки экстремума (вершины)
Положительность/отрицательность (расположение относительно оси Ox)
Тип 5. Решение уравнений и неравенств по графику
Задача 5.1: По графику функции y = f(x) решите уравнение f(x) = 2.
Алгоритм:
1. Провести горизонтальную линию y=2
2. Найти точки пересечения с графиком
3. Записать абсциссы этих точек
Задача 5.2: Решите неравенство f(x) > 1.
Алгоритм:
1. Провести горизонталь y=1
2. Выделить части графика ВЫШЕ этой линии
3. Определить соответствующие интервалы по оси Ox
3. Практические примеры из ОГЭ
Пример 1 (линейная функция):
На рисунке изображён график функции y = kx + b. Найдите значение функции при x = 5.
Решение:
1. Видим, что график проходит через (0;4) ⇒ b=4
2. Проходит через (2;0): 0 = 2k + 4 ⇒ k = −2
3. Формула: y = −2x + 4
4. При x=5: y = −10 + 4 = −6
Ответ: −6
Пример 2 (квадратичная функция):
На рисунке изображён график функции y = ax² + bx + c. Какие из утверждений верны?
1) a > 0
2) c > 0
3) Функция имеет два нуля
Решение:
1. Ветви параболы направлены вверх ⇒ a > 0 (верно)
2. Пересечение с Oy в (0;−3) ⇒ c = −3 < 0 (неверно)
3. Две точки пересечения с Ox ⇒ два нуля (верно)
Ответ: 1, 3
Полезные советы
1. Запомните внешний вид основных графиков:
Линейная — прямая
Квадратичная — парабола
Обратная пропорциональность — гипербола
2. Обращайте внимание на:
Точки пересечения с осями
Направление ветвей
Наличие разрывов
Участки возрастания/убывания
3. Проверяйте ответ:
Подставляйте найденные значения в уравнение
Сравнивайте с графиком
4. Тренируйтесь:
Рисуйте графики по точкам
Решайте задачи из открытого банка ОГЭ
Частые ошибки
1. Путаница между значениями функции и аргумента
2. Неправильное определение знаков коэффициентов
3. Потеря корней при решении уравнений графически
4. Неверное определение промежутков знакопостоянства
5. Арифметические ошибки при вычислениях
Задачи на графики функций в ОГЭ проверяют умение анализировать визуальную информацию и применять теоретические знания. Для успешного решения:
1. Твердо знайте основные виды графиков и их свойства
2. Внимательно читайте условие и вопрос
3. Действуйте по алгоритму, проверяя каждый шаг
4. Тренируйтесь на реальных заданиях из ОГЭ
Помните, что большинство задач на графики решаются по стандартным схемам — главное внимательно работать с графической информацией и аккуратно выполнять вычисления.