Как решать задачи на графики функций на ОГЭ: полный разбор типовых заданий

Графики функций — одна из ключевых тем в ОГЭ по математике, которая проверяет умение "читать" графики и анализировать функциональные зависимости. В этой статье мы разберем все типы задач с графиками, которые встречаются на экзамене, и научимся их решать.

1. Основные типы графиков на ОГЭ

На экзамене встречаются графики следующих функций:

Линейная (y = kx + b)

Квадратичная (y = ax² + bx + c)

Обратная пропорциональность (y = k/x)

Модуль (y = |x|)

Корень (y = √x)

Показательная и логарифмическая (в простых случаях)

2. Типовые задания и методы решения

Тип 1. Определение функции по графику

Задача: Какой формуле соответствует изображенный график?

Алгоритм решения:

1. Определить тип графика (прямая, парабола, гипербола и т.д.)

2. Найти характерные точки (пересечения с осями, вершины)

3. Подставить координаты точек в предложенные формулы

Пример:

График проходит через точки (0;3) и (2;1). Варианты:

а) y = −x + 3

б) y = x² + 3

в) y = 3/x

Решение:

1. График линейный (прямая) ⇒ исключаем варианты б) и в)

2. Проверяем а): 

  при x=0: y=3 ✔

  при x=2: y=−2+3=1 ✔

Ответ: а)

Тип 2. Определение значений функции по графику

Задача: По графику функции y = f(x) найдите f(2).

Алгоритм:

1. Найти на оси Ox точку x=2

2. Провести вертикаль до пересечения с графиком

3. Определить y-координату точки пересечения

Важно: Если в точке x=2 график имеет разрыв или не существует, это нужно указать.

Тип 3. Нахождение наибольшего/наименьшего значения

Задача: По графику определите наибольшее значение функции на отрезке [−2;3].

Алгоритм:

1. Найти на оси Ox отрезок от −2 до 3

2. Выделить соответствующую часть графика

3. Определить самую высокую точку на этом участке

4. Записать её y-координату

Тип 4. Определение свойств функции

Задача: Установите соответствие между свойствами функции и графиками:

1) Функция возрастает на всей области определения

2) Функция имеет минимум в точке x=1

3) Функция принимает только положительные значения

Алгоритм:

1. Анализируем каждый график:

  Возрастание/убывание (движемся слева направо)

  Точки экстремума (вершины)

  Положительность/отрицательность (расположение относительно оси Ox)

Тип 5. Решение уравнений и неравенств по графику

Задача 5.1: По графику функции y = f(x) решите уравнение f(x) = 2.

Алгоритм:

1. Провести горизонтальную линию y=2

2. Найти точки пересечения с графиком

3. Записать абсциссы этих точек

Задача 5.2: Решите неравенство f(x) > 1.

Алгоритм:

1. Провести горизонталь y=1

2. Выделить части графика ВЫШЕ этой линии

3. Определить соответствующие интервалы по оси Ox

3. Практические примеры из ОГЭ

Пример 1 (линейная функция):

На рисунке изображён график функции y = kx + b. Найдите значение функции при x = 5.

Решение:

1. Видим, что график проходит через (0;4) ⇒ b=4

2. Проходит через (2;0): 0 = 2k + 4 ⇒ k = −2

3. Формула: y = −2x + 4

4. При x=5: y = −10 + 4 = −6

Ответ: −6

Пример 2 (квадратичная функция):

На рисунке изображён график функции y = ax² + bx + c. Какие из утверждений верны?

1) a > 0

2) c > 0

3) Функция имеет два нуля

Решение:

1. Ветви параболы направлены вверх ⇒ a > 0 (верно)

2. Пересечение с Oy в (0;−3) ⇒ c = −3 < 0 (неверно)

3. Две точки пересечения с Ox ⇒ два нуля (верно)

Ответ: 1, 3

Полезные советы

1. Запомните внешний вид основных графиков:

  Линейная — прямая

  Квадратичная — парабола

  Обратная пропорциональность — гипербола

2. Обращайте внимание на:

  Точки пересечения с осями

  Направление ветвей

  Наличие разрывов

  Участки возрастания/убывания

3. Проверяйте ответ:

  Подставляйте найденные значения в уравнение

  Сравнивайте с графиком

4. Тренируйтесь:

  Рисуйте графики по точкам

  Решайте задачи из открытого банка ОГЭ

Частые ошибки

1. Путаница между значениями функции и аргумента

2. Неправильное определение знаков коэффициентов

3. Потеря корней при решении уравнений графически

4. Неверное определение промежутков знакопостоянства

5. Арифметические ошибки при вычислениях

Задачи на графики функций в ОГЭ проверяют умение анализировать визуальную информацию и применять теоретические знания. Для успешного решения:

1. Твердо знайте основные виды графиков и их свойства

2. Внимательно читайте условие и вопрос

3. Действуйте по алгоритму, проверяя каждый шаг

4. Тренируйтесь на реальных заданиях из ОГЭ

Помните, что большинство задач на графики решаются по стандартным схемам — главное внимательно работать с графической информацией и аккуратно выполнять вычисления.