Предки Симона Абкаряна были родом из Карина, но он сам родился во Франции в семье Рипсиме и Дикрана Абкарян. Когда Симону исполнилось восемь лет, его семья переехала в Ливан, где он поступил в армянскую католическую школу и изучал французский и армянский языки. С началом гражданской войны в Ливане судьба привела его в США, где в Лос-Анджелесе он стал частью армянского театра под руководством Джеральда Паразяна.
В 1985 году Абкарян вернулся во Францию, став частью знаменитого «Театра дю Солей» под руководством Арианы Мнушкиной. В этом театре он раскрыл свой талант, блистая в классических постановках и завоевав признание критиков и зрителей. В 1999 году режиссер Ирина Брук поставила пьесу Ричарда Калински «Лунное чудовище», которая рассказывает историю молодых армян, потерявших всех родных в Турции. Спектакль имел громкий успех и неоднократно ставился на сцене. На 15-й церемонии вручения премий Мольера в мае 2001 года пьеса получила пять наград, а Симон Абкарян был удостоен звания лучшего актера года за свою роль. С этого момента его популярность начала стремительно расти.
Помимо актерской деятельности, Абкарян проявил себя как талантливый режиссер, создав шесть пьес, три из которых написал сам. Его театральные работы стали настоящими шедеврами, вызывая восхищение поклонников драматического искусства.
С 1989 года Симон Абкарян активно снимается в кино, а мировую известность ему принесли фильмы: «Арам» Роберта Кешишяна, «Арарат» Атома Эгояна, «Шрам» Фатиха Акина, «Змий» Эрика Барбье и «Казино «Рояль»» Мартина Кэмпбелла. Также незабываемой оказалась его роль Мисака Манушяна в фильме Робера Гедигяна «Армия преступников». Его фильмография включает более 70 ролей, каждая из которых отличается яркостью и глубиной.