Приветствуем всех на канале "Информатика для всех"! Тема нашей статьи - разбор задач ОГЭ, системы счисления, задача 10.
Условие задачи в демо-варианте 2025 года:
Вычислите значение арифметического выражения:
10111101 (основание 2) + 1101 (основание 8) + 111 (основание 16)
В ответе запишите десятичное число, основание системы счисления указывать не нужно.
Требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы: Записывать числа в различных системах счисления
Примерное время выполнения задания (мин.) - 3
Для начала вспомним, чем характеризуются разные системы счисления.
Системы счисления — это способы представления чисел с использованием определенного набора символов (цифр) и правил для их комбинирования. Каждая система счисления имеет свою базу (основание), которая определяет количество уникальных символов, используемых для представления чисел.
Основание позиционной системы счисления – это количество цифр, используемых для формирования данной системы счисления. Поскольку за основание системы счисления можно принять любое натуральное число, то существует бесчисленное множество позиционных систем счисления.
Система счисления по основанию 2 называется двоичной, 3 – троичной, 4 – четверичной и т.д. В двоичной системе счисления используются цифры 0,1; в троичной – 0,1,2; в четверичной – 0,1,2,3 и т.д.
Двоичная система (основание 2) применяется в компьютерах и цифровых устройствах, использует только две цифры: 0 и 1.
Восьмеричная система счисления (основание 8) — это система, в которой используются восемь уникальных символов для представления чисел. Эти символы включают цифры от 0 до 7. Восьмеричная система является позиционной, что означает, что значение каждой цифры зависит от её позиции в числе.
Шестнадцатеричная система счисления — позиционная система счисления по основанию 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F.
Итак,
- в двоичной системе используются цифры 0, 1;
- в восьмеричной – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
- в шестнадцатеричной – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F (буквами обозначаются цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15).
Для перевода чисел из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления, нужно сложить все произведения каждой цифры числа на основание системы счисления в степени соответствующего разряда.
Для каждого числа надо посчитать количество разрядов (можно при этом подписать разряды справа налево, начиная с 0).
Затем надо разложить число в сумму ряда, где каждое слагаемое - это произведение цифры числа и основания системы счисления, возведенного в степень разряда.
Обозначим знаком ^ возведение в степень (и не забудем, что по математическим правилам возведение любого числа в степень 0 всегда дает 1).
Получим:
10111101 (по основанию 2) =1*(2^7) + 0*(2^6) + 1*(2^5) + 1*(2^4) + 1*(2^3) +1*(2^2) +0*(2^1) +1*(2^0) = 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 189
1101 (по основанию 8) = 1*(8^3) +1*(8^2) +0*(8^1) +1*(8^0) = 512 + 64 + 1 = 577
111 (по основанию 16) = 1*(16^2) +1*(16^1) +1*(16^0) = 256 +16 +1 = 273
Итого: 189 + 577 + 273 = 1039
Ответ в задаче: 1039
Напомним, что при подготовке к экзамену для самоконтроля можно использовать калькулятор вида "Программист", где можно выполнять расчеты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, установив их с помощью переключателя:
- BIN - двоичная
- OCT - восьмеричная
- HEX - шестнадцатеричная
- (DEC - десятичная)
Рассмотрим для примера, как перевести 111 по основанию 16 в десятичное число.
Выбираем режим HEX у вводим цифры 111.
Далее переходим в режим DEC. Получаем нужный нам результат.
Подробное видео по задаче: