Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции

В теории интегрирования, в частности, в контексте интеграла Римана, понятия необходимого и достаточного условия интегрируемости играют ключевую роль. Сформулируем их:

1. Необходимое условие интегрируемости функции (по Риману):

• Формулировка: Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
• Математически: Если f ∈ R[a, b], то f ограничена на [a, b].
• Пояснение: Это условие говорит о том, что функция, которую мы хотим проинтегрировать, не может уходить в бесконечность на рассматриваемом отрезке. Если функция неограничена, то её невозможно проинтегрировать по Риману.
• Важно: Это условие не является достаточным. Функция может быть ограничена, но при этом не интегрируема по Риману (см. пример функции Дирихле ниже).

2. Достаточное условие интегрируемости функции (по Риману):

Существует несколько достаточных условий, гарантирующих интегрируемость функции по Риману. Наиболее распространенные:

• Формулировка 1: (Непрерывность): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема по Риману на этом отрезке.
• Математически: Если f ∈ C[a, b], то f ∈ R[a, b].
• Формулировка 2: (Кусочно-непрерывность): Если функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема по Риману на этом отрезке. (Кусочно-непрерывность означает, что функция имеет конечное число точек разрыва первого рода.)
• Формулировка 3: (Монотонность): Если функция f(x) монотонна на отрезке [a, b], то она интегрируема по Риману на этом отрезке.
• Пояснение: Достаточное условие говорит о том, что если функция обладает определенными свойствами (например, непрерывностью или монотонностью), то мы можем быть уверены, что интеграл Римана для этой функции существует.

3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции (по Риману):

• Формулировка: Функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она ограничена на этом отрезке и множество её точек разрыва имеет меру нуль (по Лебегу).
• Математически: f ∈ R[a, b] <=> f ограничена на [a, b] и m({x ∈ [a, b] : f(x) не является непрерывной}) = 0.
• Пояснение: Это наиболее точное условие интегрируемости. Множество меры нуль – это множество, которое можно покрыть бесконечным числом интервалов сколь угодно малой суммарной длины. Например, любое конечное множество точек или счетное множество точек имеет меру нуль.
• Сложность: Это условие требует знания теории меры Лебега, что выходит за рамки стандартного курса математического анализа.

Примеры:

• Функция Дирихле: Функция, равная 1 в рациональных точках и 0 в иррациональных точках на отрезке [0, 1]. Эта функция ограничена, но не интегрируема по Риману, так как она разрывна в каждой точке. Множество точек разрыва (все точки отрезка [0,1]) не имеет меру нуль.
• Функция Римана (или функция Тома): Функция, равная 0 в иррациональных точках и 1/q в рациональной точке p/q (где p и q взаимно простые числа) на отрезке [0, 1], и 0 в точке 0. Эта функция интегрируема по Риману, хотя имеет бесконечно много точек разрыва. Множество точек разрыва (все рациональные точки отрезка [0,1]) имеет меру нуль.
• Функция f(x) = x на отрезке [0, 1]: Эта функция непрерывна и, следовательно, интегрируема по Риману.

В заключение:

• Необходимое условие интегрируемости (по Риману): функция должна быть ограничена.
• Достаточные условия интегрируемости (по Риману): непрерывность, кусочно-непрерывность, монотонность.
• Необходимое и достаточное условие интегрируемости (по Риману): функция должна быть ограничена, а множество ее точек разрыва должно иметь меру нуль (по Лебегу).

Понимание этих условий позволяет определить, существует ли интеграл Римана для конкретной функции и какие свойства должна иметь функция, чтобы быть интегрируемой.