Вычисление дирекционных углов

Вычисление дирекционных углов – это важная задача в геодезии и картографии, позволяющая определить направление линий на местности относительно осевого меридиана зоны. Дирекционный угол используется для ориентирования линий на планах и картах, а также для решения различных инженерных задач.

Определение дирекционного угла:

Дирекционный угол (α) – это угол, отсчитываемый от северного направления осевого меридиана зоны по ходу часовой стрелки до направления данной линии. Дирекционный угол может принимать значения от 0° до 360°.

Исходные данные для вычисления дирекционных углов:

Для вычисления дирекционных углов необходимо знать:

• Координаты двух точек: XA, YA (координаты начальной точки линии A) и XB, YB (координаты конечной точки линии B). Эти координаты должны быть в одной системе координат (например, UTM, Гаусса-Крюгера).

Формула вычисления дирекционного угла:

1. Вычисление приращений координат:ΔX = XB - XA
   ΔY = YB - YA
   
2. Вычисление румба (r):Rумб – это острый угол, отсчитываемый от ближайшего меридиана (северного или южного) или экватора (восточного или западного) до данной линии.
   tg(r) = |ΔY / ΔX|
   r = arctg(|ΔY / ΔX|)
   При вычислении румба используется только абсолютное значение приращений координат.
   
3. Определение четверти и вычисление дирекционного угла (α): В зависимости от знаков приращений координат ΔX и ΔY, румб находится в одной из четырех четвертей, и дирекционный угол вычисляется следующим образом:
   I четверть (СВ - Северо-Восток): ΔX > 0, ΔY > 0α = r
   
   II четверть (ЮВ - Юго-Восток): ΔX > 0, ΔY < 0α = 180° - r
   
   III четверть (ЮЗ - Юго-Запад): ΔX < 0, ΔY < 0α = 180° + r
   
   IV четверть (СЗ - Северо-Запад): ΔX < 0, ΔY > 0α = 360° - r
   

Пример вычисления:

Пусть даны координаты двух точек:

• A (XA = 1000.00 м, YA = 2000.00 м)
• B (XB = 1500.00 м, YB = 1500.00 м)

1. Вычисление приращений координат:ΔX = XB - XA = 1500.00 - 1000.00 = 500.00 м
   ΔY = YB - YA = 1500.00 - 2000.00 = -500.00 м
   
2. Вычисление румба:tg(r) = |-500.00 / 500.00| = 1
   r = arctg(1) = 45°
   
3. Определение четверти и вычисление дирекционного угла:ΔX > 0, ΔY < 0 => II четверть (ЮВ)
   α = 180° - r = 180° - 45° = 135°
   

Следовательно, дирекционный угол линии AB равен 135°.

Вычисление обратного дирекционного угла:

Обратный дирекционный угол (αBA) – это дирекционный угол линии, измеренный в обратном направлении, то есть от точки B к точке A.

Формула для вычисления обратного дирекционного угла:

• αBA = αAB + 180° ± 360°

Правило:

• Если αAB < 180°, то αBA = αAB + 180°
• Если αAB ≥ 180°, то αBA = αAB - 180°

В нашем примере:

• αAB = 135°
• αBA = 135° + 180° = 315°

Важные замечания:

• При вычислении arctg необходимо учитывать четверть, в которой находится угол, чтобы правильно определить его значение.
• Необходимо использовать калькулятор или программное обеспечение, которое позволяет вычислять арктангенс с учетом четверти. В большинстве калькуляторов функция atan или atan2 возвращает угол в диапазоне от -π/2 до π/2 (от -90° до 90°). Функция atan2(ΔY, ΔX) позволяет автоматически определить четверть и вернуть правильное значение угла.
• При использовании геодезического программного обеспечения (например, AutoCAD Civil 3D, Credo, GeoniCS) вычисление дирекционных углов выполняется автоматически.
• Учет сближения меридианов и девиации: В зависимости от точности требуемых измерений, необходимо учитывать сближение меридианов и девиацию (склонение магнитной стрелки). Эти поправки вносятся при переходе от дирекционных углов к магнитным азимутам и наоборот.

Правильное вычисление дирекционных углов является основой для решения многих геодезических и картографических задач.