Числовые характеристики непрерывных случайных величин (НСВ) — это параметры, которые описывают наиболее важные свойства распределения НСВ, такие как ее “центр”, “разброс” и форму. Они позволяют сравнивать различные НСВ и использовать их для решения практических задач.
Основные числовые характеристики НСВ:
- Математическое ожидание (Mean, Expected Value):
Обозначение: M(X) или E(X) или μ
Определение: Центр распределения НСВ. Характеризует среднее значение, которое принимает случайная величина в результате большого числа наблюдений.
Формула:M(X) = ∫ x * f(x) dx (интеграл берется по всей области определения X)
где:x — значение случайной величины X
f(x) — плотность вероятности случайной величины X
Свойства:M(C) = C, где C — константа
M(CX) = C * M(X)
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
Математическое ожидание функции от случайной величины: M(g(X)) = ∫ g(x) * f(x) dx - Дисперсия (Variance):
Обозначение: D(X) или Var(X) или σ2
Определение: Мера разброса значений НСВ вокруг ее математического ожидания. Характеризует, насколько сильно значения НСВ отклоняются от среднего значения.
Формула:D(X) = ∫ (x - M(X))^2 * f(x) dx (интеграл берется по всей области определения X)
Удобная для вычислений формула:D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = ∫ x^2 * f(x) dx - (∫ x * f(x) dx)^2
Свойства:D(C) = 0, где C — константа
D(CX) = C2 * D(X)
D(X + C) = D(X)
Если X и Y — независимые случайные величины, то D(X + Y) = D(X) + D(Y) - Среднее квадратическое отклонение (Standard Deviation):
Обозначение: σ (сигма) или SD(X)
Определение: Мера разброса значений НСВ, выраженная в тех же единицах, что и сама случайная величина. Более интерпретируемая, чем дисперсия.
Формула:σ = √D(X) - Мода (Mode):Обозначение: Mo(X)
Определение: Значение случайной величины, при котором плотность вероятности достигает максимума. Точка максимума функции f(x).
Нахождение: Определяется как решение уравнения f’(x) = 0, при условии, что f”(x) < 0 в этой точке.
Свойства: НСВ может иметь одну моду (унимодальное распределение), две моды (бимодальное распределение) или несколько мод (многомодальное распределение). - Медиана (Median):
Обозначение: Me(X)
Определение: Значение случайной величины, которое делит область ее определения на две равные части, т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение меньше медианы, равна вероятности того, что она примет значение больше медианы.
Формула:∫ f(x) dx = 0.5 (интеграл берется от -∞ до Me(X))
Свойства: Медиана менее чувствительна к выбросам, чем математическое ожидание. - Квантили (Quantiles):
Обозначение: Qp(X), где p — уровень квантиля (0 ≤ p ≤ 1).
Определение: Значение случайной величины, которое делит область ее определения в заданном отношении. Например, медиана - это квантиль уровня 0.5.
Формула:∫ f(x) dx = p (интеграл берется от -∞ до Q<sub>p</sub>(X)) - Коэффициент асимметрии (Skewness):
Обозначение: Sk(X) или γ1
Определение: Характеризует степень асимметрии (скошенности) распределения НСВ.
Формула:Sk(X) = M((X - M(X))^3) / σ^3
Интерпретация:Sk(X) > 0: Правосторонняя асимметрия (график вытянут вправо).
Sk(X) < 0: Левосторонняя асимметрия (график вытянут влево).
Sk(X) ≈ 0: Симметричное распределение. - Коэффициент эксцесса (Kurtosis):
Обозначение: Ku(X) или γ2
Определение: Характеризует “островершинность” или “плосковершинность” распределения НСВ по сравнению с нормальным распределением.
Формула:Ku(X) = M((X - M(X))^4) / σ^4 - 3
Интерпретация:Ku(X) > 0: Островершинное распределение (более “острое”, чем нормальное).
Ku(X) < 0: Плосковершинное распределение (более "плоское", чем нормальное).
Ku(X) ≈ 0: Распределение похоже на нормальное.
Практическое применение:
Эти числовые характеристики широко используются в различных областях, включая:
- Статистика: Для описания и сравнения различных выборок данных.
- Теория вероятностей: Для анализа и моделирования случайных явлений.
- Финансы: Для оценки рисков и доходности инвестиций.
- Инженерия: Для проектирования и анализа систем.
- Медицина: Для диагностики и лечения заболеваний.
Понимание и умение рассчитывать числовые характеристики непрерывных случайных величин является важным навыком для специалистов в различных областях.