Если очень коротко, то линейный оператор --- это функция от вектора, значение которой также вектор. Если думать о геометрическом векторе, который мы привыкли ассоциировать с чем-то вроде "летающего карандаша", то линейный оператор может растягивать, поворачивать, проецировать и так далее.
Нюанс в том, что вектор это не всегда "привычный-нам-вектор". Вектором называется элемент линейного пространства и может так оказаться, что это многочлен, матрица или что-то ещё. Поэтому будет полезно чуть-чуть познакомиться с линейными пространствами.
Линейный оператор реализуют с помощью матрицы и образ вектора находят просто умножением на эту матрицу. Для того чтобы матрицу составить надо просто найти образы базисных векторов, по факту это два или три вектора. Причём в некоторых задачах мы просто ясно глазами видим как работает оператор на базисных векторах, а иногда приходится заморочиться и написать математическую модель в общем виде и применить к базису. По ситуации.
После изучения устройства, ковыряния во внутреннем мире и прочих церемоний, линейные операторы неожиданно применяются к приведению кривых второго порядка к каноническому виду и разложению матриц на сомножители --- это как число на простые сомножители, только не число. Иногда удобно оказывается.
Итак, изучайте:
Теория
Пара фраз о пространстве и базисе
Про линейные операторы (запись лекции 10 от 5.11.2024)
Про собственные векторы линейного оператора
Ортогональные и самосопряженные линейные операторы
Про эвклидово пространство. Часть 1
Квадратичная форма и её диагонализация (лекция от 26.11.24)
Приведение кривых второго порядка к каноническому виду и построение
Про способы разложения матрицы_ полярное, сингулярное и _треугольное_ (SU, UDV, LU)
Примеры
Ортогональное проецирование и ортогональное отражение
Оператор проецирования на прямую вдоль другой прямой (пример)
Оператор отражения относительно прямой, вдоль другой прямой
Линейный оператор проецирования на плоскость вдоль прямой
Оператор проекции на прямую параллельно плоскости (пример)