Всем привет, дорогие читатели! Сегодня разберемся с в меру простой задачей по планиметрии.
Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tg∠BAC = 12/5.
Попробуем разобраться! Для начала, конечно, построим чертеж:
Обратим свое внимание на четырехугольник AMNC. Заметим, что в нем сумма противоположных углов равна 180°:
Это позволяет нам провести окружность вокруг данного четырехугольника:
Тут уже понятно, что надо искать углы и дуги. Добавим на чертеж искомые углы:
Наши углы опираются на одну дугу, а значит они равны!
Что и требовалось доказать. Давайте перейдем к следующему пункту.
Нас просят найти отношение радиусов. Вопрос, откуда его взять? Возможно, стоит воспользоваться теоремой синусов. Все же помнят, что там в конце удвоенный радиус? Давайте запишем, взяв за R₁ радиус окружности, описанной вокруг CBM и за R₂ радиус окружности, описанной вокруг ANB:
Поделим одно на другое — вот и искомое отношение:
Теперь понятно куда копать — в сторону отношения MC и AN. Но где его найти? Заметим, что благодаря первому пункту:
Треугольники подобны по двум углам. Но тогда их стороны относятся одинаково. Запишем:
Отношение сторон прямоугольного треугольника! Теперь задача выглядит легкой. Найдем отношение используя тангенс, который нам дан в условии. Выразим катеты треугольника через некоторый x:
Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:
Тогда, искомое отношение:
Точнее, нам был дан другой порядок треугольников, поэтому окончательным будет такой ответ:
На этом всё! Решили бы задачу, если бы она попалась вам на ЕГЭ? Надеюсь, что да! Подписывайтесь на канал, пишите комментарии, делитесь с коллегами и друзьями: математики будет много! Спасибо за внимание!