Задача: Докажите, что углы ∠ACB и ∠ADB на рисунке равны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём AB и СD. Углы ∠ACB и ∠ADB равны только в том случае, когда вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Найдём длины отрезков AB, BD, AD, AC и CD путём построения прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются данные отрезки:
Итак, CD = √13, AC = √10, BD = √45, AD = √41 и AB = √104. Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если его противоположные углы в сумме дают 180°. Тогда косинусы ∠ACD и ∠ABD должны быть противоположными.
В △ACD: cos (∠ACD) = (AC^2 + CD^2 - AD^2)/(2 * AC * CD) = (10 + 13 - 41)/(2 * √10 * √13) = -18/2√130 = -9√130/130.
В △ABD: cos(∠ABD) = (AB^2 + BD^2 - AD^2)/(2 * AB * BD) = (104 + 45 - 41)/(2 * √104 * √45) = 108/(2 * 2√26 * 3√5) = 108/12√130 = 9√130/130.
Итак, cos (∠ACD) = - cos(∠ABD) ⇒ ∠ACD = 180° - ∠ABD; ∠ACD + ∠ABD = 180° ⇒ вокруг четырёхугольника ABDC можно описать окружность ⇒ углы ∠ACB и ∠ADB равны, так как опираются на одну и ту же дугу.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.