Задача: Верно ли, что окружность, проходящая через точки A, B и C на рисунке, также пройдёт и через точку M?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём AM и BM. Найдём длины всех отрезков путём построения прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются данные отрезки:
Итак, AM = √26, BM = √34, BC = √13, AB = √40 и AC = √17. Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если его противоположные углы в сумме дают 180°. Тогда косинусы ∠AMB и ∠ACB должны быть противоположными.
В △AMB: cos (∠AMB) = (AM^2 + BM^2 - AB^2)/(2 * AM * BM) = (26 + 34 - 40)/(2 * √26 * √34) = 20/4√221 = 5/√221 = 5√221/221.
В △ACB: cos(∠ACB) = (AC^2 + BC^2 - AB^2)/(2 * AC * BC) = (13 + 17 - 40)/(2 * √13 * √17) = -10/2√221 = -5/√221 = -5√221/221.
Итак, cos (∠AMB) = - cos(∠ACB) ⇒ ∠AMB = 180° - ∠ACB; ∠AMB + ∠ACB = 180° ⇒ вокруг четырёхугольника AMBC можно описать окружность ⇒ окружность, проходящая через точки A, B и C на рисунке, также пройдёт и через точку M.
Ответ: Да.
Задача решена.