Задача: В угол вписаны две окружности. Первая касается одной стороны угла в точке M, вторая касается другой стороны в точке K. Докажите, что на прямой MK эти окружности высекают равные хорды.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: По теореме об отрезках касательных AM = AP и AK = MQ. Тогда поскольку MQ = AQ - AM и KP = AK - AP, то MQ = KP. По теореме о квадрате отрезка касательной MQ^2 = ML * MK. Аналогично KP^2 = NK * MK. Поскольку MQ = KP, то MQ^2 = KP^2 ⇒ ML * MK = NK * MK ⇒ ML * MK - NK * MK = 0 MK(ML - NK) = 0 | (MK > 0 поэтому не рассматриваем случай MK = 0) ML - NK = 0 ML = NK ML = MN + NL и NK = KL + NL ⇒ MN + NL = KL + NL MN = KL Что и требовалось доказать. Задача решена.
Задача: В угол вписаны две окружности. Первая касается одной стороны угла в точке M, вторая касается другой стороны в точке K. Докажите, что на прямой MK эти окружности высекают равные хорды.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об отрезках касательных AM = AP и AK = MQ. Тогда поскольку MQ = AQ - AM и KP = AK - AP, то MQ = KP. По теореме о квадрате отрезка касательной MQ^2 = ML * MK. Аналогично KP^2 = NK * MK.
Поскольку MQ = KP, то MQ^2 = KP^2 ⇒ ML * MK = NK * MK ⇒
ML * MK - NK * MK = 0
MK(ML - NK) = 0 | (MK > 0 поэтому не рассматриваем случай MK = 0)
ML - NK = 0
ML = NK
ML = MN + NL и NK = KL + NL ⇒
MN + NL = KL + NL
MN = KL
Что и требовалось доказать.
Задача решена.