Задача: Точки A и B находятся в одной полуплоскости относительно прямой l. Постройте окружность, проходящую через A и B и касающуюся этой прямой. Сколько может быть таких окружностей?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть K - точка касания данной прямой с окружностью. Рассмотрим 2 случая, зависящих от положения точек A и B.
I случай
(расстояния от данной прямой до точек A и B различны)
Если расстояния от прямой l до точек A и B различны, то прямая AB пересечёт касательную l в некой точке M. Тогда по теореме о квадрате отрезка касательной MK^2 = AM * BM.
На прямой l отметим точку K' так, что MK' = MK. Тогда MK'^2 = AM * BM. Проведём AK' и BK'. Поскольку вокруг любого треугольника можно описать, то опишем окружность вокруг треугольника △ABK' (см рисунок)
Докажем, что MK' - касательная. Предположим, что MK' - секущая, тогда существует точка K'', которая лежит на окружности (см рисунок)
⇒ по теореме о произведении отрезков секущей MK' * (MK' +- K'K'') = AM * AB, однако MK'^2 = AM * BM ⇒
MK' * (MK' +- K'K'') = MK'^2
MK'^2 - MK' * (MK' +- K'K'') = 0
MK' * (MK' - MK' +- K'K'') = 0
MK' * (+- K'K'') = 0 | (MK' > 0, поэтому не рассматриваем случай MK' = 0)
K'K'' = 0
⇒ точки K' и K'' совпадают, тогда MK' не может быть секущей. Наше предположение неверно ⇒ MK' - касательная ⇒ в данном случае существует 2 окружности, проходящие через точки A и B и касающиеся этой прямой.
II случай
(расстояния от данной прямой до точек A и B равны)
Если расстояния от прямой l до точек A и B равны, то прямая AB параллельна касательной l. Проведём радиусы OA, OB и OK.
Пусть H - точка пересечения прямой OK с хордой AB. Так как K - точка касания окружности с прямой l, то OK⟂l ⇒ OK⟂AB (см рисунок)
Поскольку AO = OB как радиусы ⇒ OH - высота и медиана в △AOB ⇒ HK - серединный перпендикуляр отрезка AB.
Предположим, что есть такая точка K', что окружность с центром O' проходит через точки A и B и касается прямой l в точке K'. Тогда O'K'⟂l, однако O' лежит на HK, который перпендикулярен прямой l и пересекает её в точке K ⇒ точки K и K' совпадают. А поскольку вокруг треугольника △ABK можно описать только одну окружность, то в данном случае существует 1 окружность, проходящая через точки A и B и касающаяся этой прямой.
Ответ: 1 или 2.
Задача решена.