Формулы сокращенного умножения имеют геометрический смысл благодаря своей связи с площадями прямоугольников и квадратов.
Рассмотрим ФСУ для квадратов.
1.Рассмотрим формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Данную формулу легко представить геометрически. Рассмотрим квадрат со стороной :
Для расчета S квадрата=сторона возводится в 2 степень.
Внимательно посмотрим и поймем, что сторона(слева)=а+b, а сторона(снизу)=а+b. Для расчета необходимо перемножить две стороны и получим S=(a+b)*(a+b)=(a + b)².
C другой стороны можно посчитать S путем сложения площадей внутри квадрата. Поделим его на 2 прямоугольника и 2 квадрата( рисунок справа). Получим, что S=(a)²+(b)²+ab+ab=(a)²+(b)²+2ab
Т.е. можно установить равенство между двумя выражениями S=(a + b)² и S=(a)²+(b)²+2ab. Следовательно,(a + b)²=(a)²+2ab+(b)²
2.Рассмотрим формулу квадрата разности:(a - b)²=(a)²-2ab +(b)²
Представим a и b как длины сторон прямоугольника. Тогда a - b представляет собой разность этих сторон. Идея состоит в том, чтобы построить квадрат на основе (a - b) и найти его площадь.
1.Постройте квадрат со стороной a.
2.Внутри него построим квадрат (a - b): разделим первоначальный квадрат со стороной а на 4 части: 2 прямоугольника и 2 квадрата.
3. Необходимо найти S квадрата со стороной (a-b). В общем смысле S=сторона возведенная во 2 степень, т.е.: S=(a - b)*(a - b)=(a - b)²
C другой стороны, S можно посчитать путем вычитания из S большого квадрата S двух прямоугольников и S квадрата со стороной b
Таким образом, S=(a - b)², с другой стороны S=(a)²-2ab +(b)².
Следовательно, (a - b)²=(a)²-2ab +(b)²
3.Рассмотрим формулу разность квадратов:(a)²-(b)²=(a - b)*(a +b)
Строим квадрат со стороной a, внутри него квадрат со стороной b (если b), проводим внутри прямую, как показано на рисунке ниже:
Мы видим, что разность площадей квадратов равна площади двух прямоугольников – большого и малого.
Переместив малый прямоугольник так, чтобы равные стороны прямоугольников совместились:
Получим прямоугольник со сторонами (a – b) и (a + b). Следовательно, разность площадей квадратов равна (a)²-(b)²=(a – b)(a + b).
P.S.:Вы можете связаться со мной, если хотите понять математику, улучшить свои навыки или подготовиться к экзаменам!
Телеграмм: @DVV01