Задача: Сторона AB квадрата ABCD равна 4 и является хордой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Отрезок касательной, проведённой к ней из точки С, равен √46. Найдите диаметр окружности. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Продолжим BC до пересечения с окружностью в точке E(см рисунок) По теореме о квадрате отрезка касательной BC * EC = KC^2 ⇒ 4 * EC = 46 EC = 46/4 BE = EC - BC = 46/4 - 4 = 30/4. ∠ABE = 180° - ∠ABC = 180° - 90° = 90° ⇒ AE - диаметр и △ABE - прямоугольный. В прямоугольном △ABE по теореме Пифагора AE^2 = BE^2 + AB^2 ⇒ AE = √((30/4)^2 + 4^2) = √(900/16 + 16) = √(1156/16) = √1156/√16 = 34/4 = 8,5. Ответ: 8,5. Задача решена.
Задача: Сторона AB квадрата ABCD равна 4 и является хордой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Отрезок касательной, проведённой к ней из точки С, равен √46. Найдите диаметр окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Продолжим BC до пересечения с окружностью в точке E(см рисунок)
По теореме о квадрате отрезка касательной BC * EC = KC^2 ⇒
4 * EC = 46
EC = 46/4
BE = EC - BC = 46/4 - 4 = 30/4. ∠ABE = 180° - ∠ABC = 180° - 90° = 90° ⇒ AE - диаметр и △ABE - прямоугольный. В прямоугольном △ABE по теореме Пифагора AE^2 = BE^2 + AB^2 ⇒
AE = √((30/4)^2 + 4^2) = √(900/16 + 16) = √(1156/16) = √1156/√16 = 34/4 = 8,5.
Ответ: 8,5.
Задача решена.