Задание
На плоскости дано два ненулевых вектора с координатами (c; c²) и (c; c³). Найти все действительные значения c, при которых векторы будут взаимно перпендикулярны.
Решение
Взаимная перпендикулярность векторов означает, что угол между ними составляет 90°, а так как cos 90° = 0, то скалярное произведение таких векторов также будет равно нулю. Как известно, скалярное произведение векторов (x₁; y₁) и (x₂; y₂) равно сумме произведений их соответствующих координат:
x₁·x₂ + y₁·y₂
Исходя из этого в случае векторов (c; c²) и (c; c³) необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:
c·c + c²·c³ = 0
или
c² + c⁵ = 0
Решим получившееся уравнение. Вынесем c² за скобку:
c²·(1 + c³) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получается, что или c = 0, или c³ + 1 = 0. Уравнение
c³ + 1 = 0
имеет один действительный корень c = –1.
По условию задачи векторы не являются нулевыми, значит вариант c = 0 не подходит и остаётся единственное значение c = –1, при котором необходимое требование выполняется.
Ответ
c = –1
Комментарий
Множество концов векторов (c; c²) на координатной плоскости образует обычную (квадратичную) параболу y = c², а множество концов векторов (c; c³) есть геометрическое место всех точек кубической параболы y = c³.
Из решения задачи следует, что её условию удовлетворяет единственная пара векторов: (–1; (–1)²) и (–1; (–1)³) или (–1; 1) и (–1; –1). Для наглядности они показаны на рисунке ниже.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.