Золотое сечение, также известное как φ (phi) или приблизительно 1,618, представляет собой число с некоторыми странными свойствами. Неудивительно, что многие люди относятся к золотому сечению с большой долей мистицизма, потому что (вот часть клише) оно неоднократно появляется в природе, а также встречается во многих областях математики. И все мы знаем, что математика – это язык Вселенной.
Еще в начале XX века на одном из заседаний Московского научно-музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Танеевым, Рахманиновым, Глиэром, Гольденвейзером были и крупные московские ученые, русский советский музыковед Э. К. Розенов (1861-1935) выступил с докладом "Закон золотого сечения в поэзии и музыке". Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений.
Итак, я хочу немного поговорить о золотом сечении и о том, как оно могло бы звучать, если бы мы использовали его в качестве музыкального интервала.
Золотое сечение, также известное как φ (phi) или приблизительно 1,618, представляет собой число с некоторыми странными свойствами. Неудивительно, что многие люди относятся к золотому сечению с большой долей мистицизма, потому что (вот часть клише) оно неоднократно появляется в природе, а также встречается во многих областях математики. И все мы знаем, что математика – это язык Вселенной.
Еще в начале XX века на одном из заседаний Московского научно-музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Танеевым, Рахманиновым, Глиэром, Гольденвейзером были и крупные московские ученые, русский советский музыковед Э. К. Розенов (1861-1935) выступил с докладом "Закон золотого сечения в поэзии и музыке". Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений.
Розенов проанализировал популярнейшие и наиболее излюбленные произведения гениальных авторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Вагнера, Глинки, а также произведения народного творчества наиболее древнего происхождения, живучесть которых является достаточным доказательством их эстетической ценности и широкой популярности.
Но помимо установления самого факта наличия закона золотого сечения в музыкальных произведениях и его огромного эстетического значения в музыке математический анализ музыки (даже такой элементарный) позволяет сделать некоторые выводы о характерных особенностях творчества самих композиторов.
Так, сравнивая проявление закона золотого сечения у Баха и Бетховена, Розенов пишет: "Мы находим у Баха сравнительно более детальную и органическую сплоченность. Закон золотого деления проявляется у него с поразительной точностью в соотношениях крупных и мелких частей как в строгих, так и в свободных формах, что, несомненно, соответствует с характером, этого гениального мастера-труженика, сильным, здоровым и уравновешенным, с его глубоко сосредоточенным отношением к работе и детально отделанной манерою письма. У Бетховена проявление закона золотого сечения глубоко логично по отношению к размерам частей формы, но главным образом указывает на силу темперамента этого автора по точности совпадения всех моментов высшего напряжения чувств и разрешения подготовленного ожидания с моментами золотых сечений.
У Шопена внутренняя формальная связь сравнительно слабее и проявляется не сплошь, а лишь местами. По силе темперамента он сходен с Бетховеном, но проявление это более нежное и касается чаще изящной нарядности изложения мысли, нежели его внутренней логики.
У Моцарта темперамент проявляется сравнительно слабее, но закон золотого сечения направлен у него особенно часто к подчеркиванию драматических элементов (психологических контактов, противопоставлений характеров) и трагических положений.
У Глинки мы находим применение данного закона только лишь в широких масштабах при полном почти отсутствии мелочных соответствий, встречающихся так часто у Баха и Шопена".
А теперь рассмотрим золотое сечение как музыкальный интервал
Возможно, вы видели или слышали некоторые видео на YouTube, которые восклицают: «Вот как звучит золотое сечение!!» — Они почти всегда основаны на десятичном разложении фи, где каждая цифра присваивается ноте мажорной гаммы. Я не буду приводить здесь пример, потому что это такая лишенная воображения западноцентричная интерпретация тончайшего соотношения природы. Просто представьте себе фоновую музыку для дерьмовой рекламы Google, использующей образы играющих детей и матерей, молодых модных людей, улыбающихся, глядя в свои ноутбуки, и вы поймете идею.
Итак, правда в том, что золотое сечение, как чистый музыкальный интервал, является грубым, грязным, диссонирующим, негармоничным и даже отдаленно не таким, как можно было бы ожидать. И он явно микротональный.
Возьмем, к примеру одно из самых известных произведений, «Stria» Джона Чоунинга, важную электронную работу 1977 года, в которой он использовал свое новое открытие FM-синтеза. Эта композиция была известна своим негармоничным звучанием благодаря открытому знаменитому алгоритму FM и использованию золотого сечения (1,618...) в музыке.
В этом произведении золотое сечение используется в качестве интервала между несущей и модулятором, так что результирующий тембр представляет собой негармоничное облако парциальных частиц, связанных с тональностью золотого сечения в качестве музыкального интервала, - так что начните отсюда и позвольте звукам медленно прокладывать себе путь в ваш мозг.
Так какое золотое сечение является настоящим золотым сечением?
Вот то, что снова и снова вызывает путаницу. Есть два музыкальных интервала, каждый из которых претендует на звание золотого сечения! Как это возможно?
Рассмотрим октаву в центах. Центы - это музыкальная единица измерения высоты тона, которая делит октаву на 1200 логарифмически равных частей. Это означает, что 200 центов эквивалентны равномерно темперированному целому тону, 100 центов эквивалентны полутону, 50 центов эквивалентны четверти тона и т. д. Таким образом, наша первая версия phi просто разделит 1200 на φ:
1200 / φ = 741.6407865 цент
~741 цент звучит как ужасно резкая квинта.
Что ж, и мы узнаем, что золотое сечение звучит диссонансно? Разве это то золотое сечение, которое мы ищем? Но сначала давайте посмотрим другой вариант:
1200 * log2(φ) = 833.090296357
Хотя и оба этих интервала можно было бы использовать для создания гамм, с которыми можно было бы играть интересную музыку, но только один из них дает мне ощущение единства со вселенной. Чтобы выяснить причину, нам нужно взглянуть на психоакустический эффект, известный как Комбинированные тона.
Давайте сыграем A (440 Гц) и E (660 Гц) на клавиатуре и отработаем эти комбинации тонов для себя.
Difference tone = 660Hz - 440Hz = 220Hz
Sum tone = 660Hz + 440Hz = 1100Hz
Разностный тон находится на октаву ниже основной ноты ля. Именно по этой причине вы слышите, как недостающее фундаментальное «восполняется» вашим мозгом, когда вы играете пауэр-аккорд или просто мажорное трезвучие.
Что касается суммарного тона, то он настроен на 5-ю гармонику выше отсутствующего основного 220 Гц, потому что 220 Гц * 5 = 1100 Гц.
5-я гармоника – это просто большая терция плюс две октавы. Суммарный тон, возможно, является одной из причин того, почему справедливое мажорное трезвучие является таким стабильным и приятным звучанием.
Простой факт психоакустики заключается в том, что любые два тона, которые вы играете, будут производить дополнительные комбинационные тона. Существует два типа комбинированного тона: разностный тон и суммарный тон. Суммарный тон вычисляется путем суммирования частот двух тонов. Разностный тон вычисляется путем вычитания частоты одного тона из другого.
Напомню, что если я воспроизвожу ДВА тона (440 Гц и 660 Гц), ваш мозг услышит ЧЕТЫРЕ тона (220 Гц, 440 Гц, 660 Гц, 1100 Гц). Эффект тонкий, и комбинированные тона слышны намного мягче, чем реальные тона, но эффект можно ощутить. Помня об этом, давайте разберемся с комбинированными тонами, которые появляются при использовании интервала золотого сечения.
Мы будем играть тон 1 кГц и тон ~ 1,618 кГц. Интервал между этими двумя тонами составляет золотое сечение ~833 цента.
Difference tone = ~1.618kHz - 1kHz = ~0.618kHz
Sum tone = 1kHz + ~1.618kHz = ~2.618kHz
Что интересно в этих комбинированных тонах, так это то, что они сами связаны с оригинальными тонами золотым сечением. Это легко продемонстрировать:
1kHz / ~0.618kHz = φ
~2.618kHz / ~1.618kHz = φ
И все эти четыре тона связаны золотым сечением! Если мы вычислим комбинации тонов 2-го порядка, 3-го порядка и так далее, мы найдем одно и то же снова и снова. Каждый комбинированный тон связан с каким-либо другим тоном золотым сечением. Это именно тот рекурсивный эффект, который мы ожидаем обнаружить при правильном использовании золотого сечения.
Тем не менее, этот ландшафт рекурсивных негармонических частичных частиц лучше всего можно описать как хаотичный и сложный беспорядок. Это резкий контраст с использованием золотого сечения в визуальных пропорциях, картинах, архитектуре, цветах и раковинах наутилуса, которые, по мнению большинства людей, выглядят гармонично и приятно.
Но это чистая правда. Ухо работает странным образом. Не все визуальные формы имеют аналог в виде звука.
Генерация шкалы на основе золотого сечения
К настоящему времени должно быть ясно, что музыка золотого сечения обладает некоторыми интересными свойствами, которые западная равномерно темперированная гамма вряд ли может надеяться воспроизвести. Если у вас есть высокоточные микроперестраиваемые приборы и, возможно, программное обеспечение для проектирования шкал, такое как Scala, alt-tuner или LMSO, то следующим шагом будет разработка шкалы с золотым сечением.
Есть много возможностей при создании собственной шкалы на основе фи. Разработка собственных шкал золотого сечения оставлена вам в качестве упражнения на черный день.
Почти все гаммы содержат интервал эквивалентности, и для большинства гамм этот интервал равен октаве. В системах, основанных на октавах, такая нота, как До, появляется много раз, и каждая До разделена одной или несколькими октавами.
Кстати, октава – это соотношение 2. Если вы сыграете ля на частоте 440 Гц, а затем сыграете ля на октаву выше, то более высокая нота будет 880 Гц.
Для нашей шкалы мы хотим упаковать как можно больше золотых сечений. Здесь нет места скучным числам, таким как 2. Действительно, наш интервал эквивалентности и будет самим золотым сечением. Это означает, что шкала повторится примерно через 833 цента. Эта шкала плотно вписывается в частотное пространство между 1 кГц и ~1,618 кГц.
Следующим шагом будет разбиение этого интервала на более мелкие интервалы (a и b). Каждый раз, когда мы делим интервал на два интервала, эти интервалы должны иметь золотые пропорции.
Затем возьмите самый большой интервал, который остался на шкале, и разбейте его на 2 интервала с золотой пропорцией. Повторяйте этот процесс до тех пор, пока у вас не будет достаточно материала для написания музыки.
Вот некоторые разработанные расчеты в масштабе доведены до 8 шагов и представлены ниже в формате Scala, чтобы вы могли опробовать его сами:
121.546236174916
196.665941335636
318.212177510552
439.758413685468
514.878118846189
636.424355021105
711.544060181825
833.090296356741
Несколько интересных замечаний о вышеупомянутой шкале... При генерации значений шкала становится моментом симметрии (MOS) после 3, 5, 8 шагов. Это числа Фибоначчи. Остановитесь после 8 шагов, потому что он очень хорошо сопоставляется с клавиатурой пианино с линейным отображением. С таким отображением вы всегда будете слышать золотое сечение, когда играете минорную квинту на клавиатуре. Так совпало, что этот строй имеет некоторые приближения к квинтой, кварте, супермажорной терции, малой терции и большой секунде.
Если вы хотите найти больше настроек с золотым сечением, вы можете взглянуть на шкалу 833 центов Хайнца Болена для вдохновения.
Золотое сечение как спектральная микронастройка
При использовании гамм, основанных на золотом сечении, вы обнаружите, что тембр имеет огромное значение для результата. Если вы используете инструмент, который воспроизводит яркие и чистые гармонические обертоны, например, скрипку или пилообразную волну, вы услышите неуправляемое столкновение гармонического тембра с негармонической гаммой.
Вместо этого вы можете использовать подход, похожий на подход Джона Чоунинга, и запекать золотое сечение прямо в самом тембре, используя негармонические обертоны, основанные на золотом сечении. Затем внезапно ваши тембры и гамма выровняются, что приведет к гораздо более гладкому звучанию. Это еще одна демонстрация того, что настройка и тембр тесно переплетены.
Если вы компьютерный музыкант импровизируйте на негармонических частях, которые могут контролироваться, а каждая частичная часть настраивается на некоторое кратное золотое сечение. Творческих успехов!
