Задачи с экономическим содержанием уже давно являются обязательными во второй части ЕГЭ по математике профильного уровня. Это стабильная тема, нацеленная на проверку владения процентными расчётами в усложнённой ситуации. Иногда эти ситуации надуманны и непрактичны. Например, в задачах часто требуется найти число процентов, на которое банк ежегодно повышает остаток долга заёмщику. На практике такая ситуация невозможно, так как при оформлении кредита это число процентов известно и кредитору (банку), и заёмщику (берущему кредит).
Не обращая внимание на эти тонкости, учащихся надо научить решать задачи такого типа. Когда-то автору этих строк довелось написать книгу: Математика. Трудные задачи ЕГЭ. Задачи с экономическим содержанием : профильный уровень : учебное пособие / А. В. Шевкин. — 3-е изд. — Москва : Просвещение, 2022.
Это одна из трёх книг серии.
Это не решебник для обучения решению задач из ЕГЭ. Это, скорее, план организации повторения материала, связанного с задачами экономического содержания перед экзаменом. Здесь много задач на разные приёмы решения. Начинать надо с повторения простых задач на проценты:
1) найти несколько процентов числа;
2) найти число по нескольким его процентам;
3) найти сколько процентов одно число составляет от второго.
При этом надо постараться идти от понимания процентов и не применять пропорции, которые окажутся неприменимыми в более сложных задачах. Рассмотрим решение задачи 16 из раздела «На сколько процентов больше или меньше?».
Задача 16. На сколько процентов число a больше, чем число b?
Следующую задачу предлагается решить самостоятельно.
Задача 17. На сколько процентов число b меньше, чем число a?
Она приводит к результату, сформулированному в виде правила:
Чтобы не запутаться в двух формулах, можно обратить внимание на то, что числители в этих формулах одинаковые, а в знаменатель ставим число, с которым сравниваем.
Учащимся иногда кажется, что ответ в задаче 17 будет такой же, как в задаче 16. Они переносят знание факта «50 р. больше, чем 40 р. на столько же рублей, на сколько 40 р. меньше 50 р.» на совсем другую ситуацию, в которой разность 10 р. составляют разное число процентов — от 40 р. и от 50 р.
В книге много задач, составленных специально для того, чтобы, используя интерес учащихся к задачам ЕГЭ, готовить их постепенно к решению таких задач и попутно повторить возможно больше полезного материала. В краткой публикации остановимся на задачах, близких к задачам демоверсий 2023 и 2024 годов.
Задача из демоверсии 2023 года есть в книге под номером 89.
Задача 89. 15 января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.
Запись решения на экзамене должна быть короче, так как, в отличие от книги, учащийся не ставит перед собой цели кого -либо обучить своим решением.
Рассмотрим решение задачи 16 из демонстрационной версии ЕГЭ-2024. Там оно излишне кратко.
16. В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
Ссылка, по которой можно приобрести пособие по решению задач с экономическим содержанием: https://www.wildberries.ru/catalog/176830115/detail.aspx
Автор статьи: А. В. Шевкин, avshevkin@mail.ru