А. В. Шевкин, avshevkin@mail.ru
Рассмотрим решение задачи с параметром из сборника для подготовки к ЕГЭ-2024 (36 вариантов) [1].
Это означает, что фигура, изображающая все решения уравнения (1) симметрична относительно осей координат и относительно начала координат.
Поэтому построим сначала ту часть этой фигуры, которая лежит в первой четверти. Рассмотрим три случая.
Мы доказали, что фигура, изображающая все решения уравнения (1) симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Дополним рисунок для остальных четвертей, отразив фигуру, построенную в первой четверти, симметрично относительно осей координат и относительно начала координат.
Теперь займёмся уравнением (2) системы. Оно задаёт серию прямых, проходящих через точку В (0; 8). Для каждого значения a получаем свою прямую, на которой лежат все точки (x; y), изображающие решения уравнения (2) системы для выбранного значения параметра a. Система имеет ровно два решения, если прямая y = ax + 8 пересекает построенную фигуру ровно в двух точках.
Прямые y = x + 8 (при a = 1) и y = –x + 8 (при a = –1) пересекают фигуру в двух точках. Числа a = 1 и a = –1 удовлетворяют условиям задачи.
Замечание. Решение задачи описано излишне подробно с целью обучения. На экзамене решение аналогичной задачи можно изложить короче.
Используемая литература
1. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под. ред. И. В. Ященко. Москва : Издательство «Национальное образование», 2024.