Задача: На катетах AС и ВC прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты AKLC и BCNE. Докажите, что точка пересечения прямых AE и BK лежит на высоте этого треугольника, опущенной на его гипотенузу.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим сторону бо́льшего квадрата за a, меньшего за b. По теореме Чевы для того чтобы чевианы AP, CH и BM пересекались в одной точке, должно выполняться равенство AM/MC * CP/PB * BH/HA = 1.
Рассмотрим прямоугольные △MAK и △MCB:
- ∠AMK = ∠CMB (как вертикальные)
⇒ △MAK ~ △MCB по I признаку подобия треугольников ⇒ AM/MC = AK/BC ⇒ AM/MC = a/b.
Рассмотрим прямоугольные △PBE и △PCA:
- ∠BPE = ∠CPA (как вертикальные)
⇒ △PBE ~ △PCA по I признаку подобия треугольников ⇒ CP/PB = AC/BE ⇒ CP/PB = a/b.
Рассмотрим прямоугольные △AHC и △CHB:
- ∠CAH = ∠BCH (∠BCH = 90° - (90° - ∠CAH) = ∠CAH)
⇒ △AHC ~ △CHB по I признаку подобия треугольников ⇒ AH/CH = CH/HB = a/b ⇒ AH/CH = a/b; AH = CH*a/b и CH/HB = a/b; HB = HC * b/a ⇒ HB/AH = (CH*b/a)/(CH * a/b) = (b^2)/(a^2).
Итак, AM/MC * CP/PB * BH/HA = a/b * a/b * (b^2)/(a^2) = 1 ⇒ по теореме Чевы чевианы пересекаются в одной точке ⇒ точка пересечения AE и BK лежит на высоте данного треугольника.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.