Задача: В четырёхугольнике ABCD угол B равен углу C, а диагонали пересекаются в точке O. Через точку O параллельно стороне AD провели прямую, которая пересекла стороны AB и CD в точках M и K. Докажите, что MO : OK = AB : CD.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Треугольники △ABD ~ △MBO, так как образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ MO/AD = BO/BD; MO = AD*BO/BD. Также треугольники △ACD ~ △OCK, так как образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ OK/AD = CO/AС; OK = AD*CO/AС. Тогда MO/OK = BO * AС/(BD * CO).
Обозначим углы ∠ABC и ∠BCD за α. Рассмотрим △ABC: sin(α) / sin(∠BCA) = AC/AB. Рассмотрим △BCD: sin(∠CBD) / sin(α) = CD/BD. И наконец, рассмотрим △BOC: sin(∠BCA) / sin(∠CBD) = BO/CO.
Поскольку sin(α)/sin(∠BCA) * sin(∠CBD)/sin(α) * sin(∠BCA)/sin(∠CBD) = 1, то AC/AB * CD/BD * BO/CO = 1 ⇒ AC/BD * BO/CO * CD/AB = 1 ⇒ AC/BD * BO/CO = AB/CD.
Итак, MO/OK = BO * AС/(BD * CO) и AC/BD * BO/CO = AB/CD ⇒ MO : OK = AB : CD.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.