Задача: Точки M и K — середины строн AF и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Найдите CO : OM.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Пусть AM = x, тогда MF = DK = KE = x, и каждая сторона шестиугольника равна 2x. Пусть G - точка пересечения прямых AB и CD.
Рассмотрим △BGC:
- ∠GBC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60° (каждый угол правильного шестиугольника равен 120°)
- ∠GCB = 180° - ∠BCD = 180° - 120° = 60°
⇒ △BGC - равносторонний ⇒ GB = GC = BC = 2x. Пусть N - точка пересечения прямых CD и AK (см. рисунок)
Рассмотрим △ANG и △KND:
- ∠N - общий
- ∠AGN = ∠KDN (как соответственные при пересечении AG∥DK секущей GN)
⇒ △ANG ~ △KND по I признаку подобия треугольников ⇒ DK/AG = DN/GN; DN/(4x + DN) = x/4x ⇒
DN/(4x + DN) = 1/4
4DN = 4x + DN
DN = 4x/3
Рассмотрим △AOM и △NOC:
- ∠AOM = ∠NOC (как вертикальные)
- ∠AMO = ∠NCO (как накрест лежащие при пересечении AM∥CF секущей CM)
⇒ △AOM ~ △NOC по I признаку подобия треугольников ⇒ CO/OM = CN/AM. CN = CD + DN = 2x + 4x/3 = 10x/3 ⇒ CO : OM = (10x/3) : x = 10 : 3.
Ответ: 10 : 3.
Задача решена.
