Задача: Точки M и K — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Отрезки AM и BK пересекаются в точке O. Найдите BO : OK.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть CM = x, тогда MD = DK = KE = x, и каждая сторона шестиугольника равна 2x. Пусть G - точка пересечения продолжении сторон AB и CD.
Рассмотрим △BGC:
- ∠GBC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60° (каждый угол правильного шестиугольника равен 120°)
- ∠GCB = 180° - ∠BCD = 180° - 120° = 60°
⇒ △BGC - равносторонний ⇒ GB = GC = BC = 2x.
Пусть N - точка пересечения прямых AM и DE (см. рисунок)
Рассмотрим △AMG и △NMD:
∠AMG = ∠NMD (как вертикальные)
∠AGM = ∠NDM (как накрест лежащие при пересечении AG∥ND секущей DG)
⇒ △AMG ~ △NMD по I признаку подобия треугольников ⇒ ND/AG = MD/MG ⇒ ND/4x = x/3x; ND = 4x/3.
Рассмотрим △AOB и △NOK:
∠AOK =∠NOK (как вертикальные)
∠ABO = ∠NKO (как накрест лежащие при пересечении AB∥NK секущей BK)
⇒ △AOB ~ △NOK по I признаку подобия треугольников ⇒ BO/OK = AB/NK. NK = ND + DK = 4x/3 + x = 7x/3 ⇒ BO : OK = 2x : (7x/3) = 6 : 7.
Ответ: 6 : 7.
Задача решена.