В прошлых статьях мы разобрали довольно простые одномерные методы решения солвера HEC-RAS (и аналогов) на установившееся течение (steady flow):
- пошаговый метод на уравнении энергии;
- уравнение импульса на примере гидравлического прыжка.
Но в тех статьях предполагалось установившееся течение, которое подразумевает постоянный расход во всех сечениях канала. Q=const, в сечениях происходит только перераспределение скоростей и площадей потока. Уравнение неразрывности в том случае принимало весьма примитивный вид Q=A*V (расход есть произведение площади сечения потока на среднюю скорость в этом сечении).
В жизни все гораздо сложнее, и установившийся поток это скорее идеализация физической картины, а в реалиях мы имеем квазистационарный и нестационарный режимы. Настало время познакомиться с неустановившимся потоком (когда расход меняется со временем, линии тока не совпадают с траекторией частиц). И в более простой форме прикоснуться к одномерному Сан-Венану (1d unsteady flow Saint-Venant).
В этой статье мы попытаемся создать образ уравнения неразрывности, и не будем лезть в уравнение переноса. Я специально буду использовать англ. термины, чтобы оставаться в границах FAQ разработчиков Hec-Ras.
На рисунке мы наблюдаем некоторое пространство control volume между двумя сечениями канала s1 и s2. (выделил желтеньким штрихом). Это пространство имеет в середине точку mid point.
1. Так как исследуется поток воды со свободной поверхностью, то уместно рассматривать жидкость как несжимаемую среду. Следовательно сохранение массы можно рассматривать как сохранение объемов.
2. Рассмотрим наш элементарный control volume: расстояние между сечениями = Δx, а среднее сечение потока в этом элементарном объеме будет A в точке mid point. А расход в mid point обозначим как Q.
3. Сохранение массы (или объема) для исследуемого пространства control volume гласит, что (приток-отток) в объем равна скорости изменения объема жидкости внутри исследуемого пространства.
4. Rate inflow есть расход в mid point минус скорость изменения расхода по продольной координате X умноженная на Δx/2.
Здесь я, пожалуй, позаимствую у Павловского Н.Н. словесный оборот из главы "Дифференциальные уравнения равновесия жидкости", и изменю в ней понятие давления на понятие расхода:
Если расход в точке midpoint равен Q, то в какой-либо точке, находящейся на расстоянии Δx от midpoint расход изменится на dQ, так что изменение расхода на единицу длины будет dQ/dx. Тогда на расстоянии половины пространства control volume расход будет равен (против оси ОX):
Частную производную dQ/dx я постарался нарисовать голубым на рисунке. Видно что она со знаком минус, так как ось X смотрит вправо. Также вы видите на картинке формулы контроль по единицам измерения.
5. Rate outflow есть расход в mid point плюс скорость изменения расхода по продольной координате X умноженная на Δx/2. На рисунке выделил зеленым.
6.С изменением объема внутри control volume все проще: скорость изменения сечения потока умноженная на длину.
6. А теперь давайте все вышеперечисленное засунем в постулат
Vизм = Qвх-Qвых. Я загодя выкинул из формулы плотность и дополнительный приток.
Раскроем скобки и упростим выражение:
Это не единственный путь вывести уравнение, есть еще вот такой маневр, указанный в книге Cunge, J.A. and Liggett, J.A. (1975) Unsteady Flow in Open Channels. Water Resources Publications. In: Mahmood, K. and Yevjevich, V., Eds., Chapter 4, Numerical Methods of Unsteady Flow Equations, Colorado, 89-182.
Принсткрин Cunge и Ligget я выкладываю и тут.
Ну и для визуализации этого балагана, я приготовил вот такие 3d солиды в автокаде:
Попробуйте закрыть глаза и помедитировать: вообразите передвижение единичных 3d призм-ячеек воды, как описано на рис. выше. Заметьте, этот маневр работает на участках с неизменным добавочным уклоном. В точке перелома уклона в этой модели равенство производных нарушается. Почему? Ответьте сами :).
И еще одно маленькое наблюдение: единица измерения частной производной площадь на время (м2/с).
PS. Ставь магарычи и бери хоть все мечи.